積分に詳しい奴来てくれ！！！！！

[0001 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/13(月) 22:28:22.621 ID:9Iil0g9g0]

fは常に正の関数として、
∫_0^1 f(x) dxと∫_0^1 e^f(x) dxが有限なら

∫_0^1 f(x) e^f(x) dxも有限って言える？？

[0015 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/13(月) 22:46:02.166 ID:9Iil0g9g0]

画像うp出来ないや

余所でやってくださいとか出る

[0016 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/13(月) 22:47:32.476 ID:9Iil0g9g0]

>>11
ヘルダーは指数が少なくともどちらか2以上になるからダメなんよね

f(x)=1/√xとすると
∫_0^1 f(x) dxは有限だけど

∫_0^1 f(x)^2 dxは発散してまう

[0017 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/13(月) 22:50:24.235 ID:5+9wxgLC0]

数学やってたけど感覚的には「言えない」

[0018 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/13(月) 22:50:59.318 ID:9Iil0g9g0]

>>17
ね、感覚的には反例作れそうなんだけど全然作れなくて苦戦してる

[0019 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/13(月) 22:56:18.970 ID:5+9wxgLC0]

ヘルダーやシュワルツは次数が変わる時じゃないと意味ないから無理筋

[0020 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/13(月) 22:56:37.427 ID:5+9wxgLC0]

反例はぱっとは出てこないが…

[0021 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/13(月) 22:59:06.085 ID:9Iil0g9g0]

せっかくTeXで書いたのに画像うp出来ない…

VIPはいつからこうなったんだ

[0022 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/13(月) 23:00:09.527 ID:9Iil0g9g0]

>>20
作れそうで作れないのがモヤモヤなんよね

[0023 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/13(月) 23:02:41.092 ID:9Iil0g9g0]

>>10
iドットimgurドットコムスラッシュQWYsieY
上のURLの頭に「エイチティーティーピーエス:スラッシュ二つ」つけて
お尻に「ドットjpeg」つけて

[0024 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/13(月) 23:03:29.495 ID:9Iil0g9g0]

>>10

https://i.imgur.com/QWYsieY

もしかしてこれでいけるか

[0025 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/13(月) 23:04:31.624 ID:9Iil0g9g0]

いけた画像拡張子がダメだったのか
そうならそうと警告してほしいわ

[0026 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/13(月) 23:05:28.460 ID:pqhdKuMd0]

∫ f(x) e^f(x)dxってe^f(x)じゃないのか…数学分からん

[0027 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/13(月) 23:06:21.558 ID:9Iil0g9g0]

>>26
いや違うよ
e^f(x)の微分はf’(x)e^f(x)だよ
f’(x)になるよ

[0028 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/13(月) 23:06:56.617 ID:SvkQdcXk0]

詳しくないけど来てやったぞ

[0029 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/13(月) 23:07:00.672 ID:pqhdKuMd0]

おん

[0030 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/13(月) 23:07:36.915 ID:9Iil0g9g0]

>>28
一緒に考えてくれ

[0031 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/13(月) 23:08:14.678 ID:9Iil0g9g0]

>>28問題は

>>24が成り立つか？って問題です

[0032 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/13(月) 23:11:04.243 ID:5+9wxgLC0]

a,bを正の実数列として
Σa[n](1+b[n]) < ∞
Σa[n](1+b[n])log(1+b[n]) =∞
を満たすものがあれば終わりだが

Σa[n]<∞
Σa[n]b[n] < ∞
Σa[n]b[n]log(1+b[n]) = ∞
と変形できるけど…

1/n^(1+2ε), n^εよりも断然シビアなやつを作らなきゃいけなくてきつい

[0033 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/13(月) 23:12:56.579 ID:9Iil0g9g0]

>>32
あれ無限級数に帰着出来るのか
それなら反例作れるぞ

[0034 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/13(月) 23:15:10.018 ID:9Iil0g9g0]

いや嘘か？

Σ (a[n]-1)
と
Σ log(a[n])が有限だけど

Σ (a[n]-1)log(a[n])は発散って例は作れます

[0035 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/13(月) 23:15:19.830 ID:5+9wxgLC0]

a[n]=e^(-n)
b[n]=e^(n)/n^2
でいいか

b[n]>e^(n/2)となるnだけで和をとると
Σa[n]<∞
Σa[n]b[n] < ∞
Σa[n]b[n]log(1+b[n]) > Σn/2n^2=∞

[0036 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/13(月) 23:15:39.312 ID:9Iil0g9g0]

例えばa[n]=exp((-1)^n/√n)
とか

[0037 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/13(月) 23:15:54.106 ID:5+9wxgLC0]

単関数でいい感じにこれに帰着して、多分終わり

[0038 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/13(月) 23:16:21.030 ID:tXM37BCo0]

殴り合うな

[0039 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/13(月) 23:17:16.104 ID:9Iil0g9g0]

>>35,37
マジか！！　すげえええ！　サンクス！

でも単関数で近似したとき[0,1]範囲の積分にするためにスケールする必要あるよね
それは問題ない？

[0040 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/13(月) 23:17:51.932 ID:5+9wxgLC0]

>>39
定数倍で済む

[0041 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/13(月) 23:17:55.464 ID:9Iil0g9g0]

つまり単関数の一つの矩形の幅が1/nとかだったら
そのスケールが影響しそう

[0042 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/13(月) 23:18:17.862 ID:5+9wxgLC0]

近似というかそのまま単関数でいい

[0043 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/13(月) 23:20:04.069 ID:9Iil0g9g0]

>>42
a[n]が幅で、b[n]が高さってことですか？

[0044 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/13(月) 23:20:44.730 ID:9Iil0g9g0]

なんとなく理解してきた
すげえ
ちょっと俺も計算してみる

[0045 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/13(月) 23:22:09.588 ID:pqhdKuMd0]

すげえな
これで反例あるのかよ
まあ俺は何もわかってないけど

[0046 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/13(月) 23:22:36.422 ID:5+9wxgLC0]

Σa[n] <∞ まででコンパクト台の単関数だから[0,1]みたいなもんだよ
直接スケーリングしてもいいけど :

Σa[n]=1
Σa[n]b[n]=1
Σa[n](1+b[n])log(1+b[n]) = ∞
を満たす正の実数列をとる(さっきのを定数倍すればおk)

太さa[n]、高さlog(1+b[n])の単関数を繋げたものをf(x)とすればいい

[0047 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/13(月) 23:22:58.593 ID:ZTOku2Vz0]

>>45
お前もお疲れ様

[0048 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/13(月) 23:23:35.376 ID:9Iil0g9g0]

>>46
あああありがとおおおおおお！！！
おまえ凄いな！！天才かよ！！

一週間悩み腐ったのに！！

[0049 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/13(月) 23:24:26.800 ID:9Iil0g9g0]

0からx軸にa[0],a[1],…と並べて単関数作ればいいんよね？

[0050 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/13(月) 23:24:45.677 ID:5+9wxgLC0]

>>49
そう

[0051 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/13(月) 23:24:48.165 ID:9Iil0g9g0]

a[0],a[0]+a[1],…か

[0052 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/13(月) 23:25:14.101 ID:5+9wxgLC0]

ああ、そっちだ

[0053 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/13(月) 23:33:26.684 ID:9Iil0g9g0]

ちょっと待ってね計算したけどきつくね？

[0054 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/13(月) 23:35:19.247 ID:9Iil0g9g0]

a[n]=e^-n
b[n]=e^n / n^2としたら
打ち消しあって

Σa[n](1+b[n])log(1+b[n])
は収束しません？

[0055 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/13(月) 23:36:58.327 ID:9Iil0g9g0]

つまりb[n]＞e^(n/2)なるnが無限に存在しなくね？

[0056 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/13(月) 23:37:29.559 ID:pqhdKuMd0]

>>35
とりあえずここまで読んだけど鮮やかだな

[0057 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/13(月) 23:37:37.734 ID:9Iil0g9g0]

でも単関数のアプローチはいいね
真似して色々試してみる

[0058 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/13(月) 23:37:40.062 ID:5+9wxgLC0]

>>54
nが大きい時
a[n](1+b[n])log(1+b[n])
>a[n]b[n]log(b[n])
=(1/n^2)*(n-2logn)
>(1/n^2)*(n-n/2)
=1/(2n)

[0059 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/13(月) 23:38:40.511 ID:9Iil0g9g0]

>>58
あああああごめん
すっげええ勘違いしてた！
ありがとう！！

[0060 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/13(月) 23:40:53.900 ID:9Iil0g9g0]

うわすげえなこれ
どうやって思いついたんだ

[0061 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/13(月) 23:43:00.819 ID:5+9wxgLC0]

俺結構数学出来る方だったからな

[0062 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/13(月) 23:43:38.637 ID:9Iil0g9g0]

>>61
マジですごいです
尊敬します

ありがとうありがとう…

[0063 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/13(月) 23:46:11.493 ID:9Iil0g9g0]

e^nのnと1/n^2がうまく噛み合わさって

はえー
しかも単関数でうまく爆発させるレートを調整してるのか
頭良すぎる

俺はずっと連続関数で頑張って作ろうとしてた…

[0064 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/13(月) 23:51:00.118 ID:9Iil0g9g0]

一週間考えて何も出来んかったのに
才能の差に泣きたくなるｗｗ

[0065 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/13(月) 23:58:57.998 ID:pqhdKuMd0]

なるほど頭いいな