数学詳しいやつ来て！！！！！

[0001 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:22:51.431 ID:FykeePrT0]

fを連続関数として
x>0となる任意の実数に対して
f(x),f(2x),f(3x),...が0に収束するとき、
lim(t→∞) f(t) = 0
が言えるらしいんだけどどうやって示せばいいの？？

なんか当たり前のようで全然示せない

[0002 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:24:37.529 ID:dSuBPAVP0]

xが任意のx>0なら、x=1として自明じゃね？

[0003 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:24:41.362 ID:FykeePrT0]

うわあああああああああ！！！！

[0004 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:25:17.447 ID:FykeePrT0]

>>2
いやそれだと自然数限定だから反例あるよ

例えばf(x) = sin(2πx)
とか

[0005 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:25:31.664 ID:3Kct7cBo0]

>>2
は？

[0006 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:25:38.828 ID:dSuBPAVP0]

>>4
ホントや

[0007 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:26:04.854 ID:FykeePrT0]

>>6
でしょ？？

なんかね これめっっっちゃくちゃ難しいの

[0008 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:26:21.744 ID:FykeePrT0]

頭がおかしくなりそう
ゼミに間に合わない

[0009 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:26:29.180 ID:dSuBPAVP0]

真面目にイプシロンデルタで書き下せばわかるんじゃね？

[0010 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:26:45.098 ID:6TS2nRIP0]

＞x>0となる任意の実数に対して
＞f(x),f(2x),f(3x),...が0に収束する

極限取ってないのに収束するってなんなの

[0011 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:26:50.488 ID:FykeePrT0]

一週間ずっっっっとひたすら考えてて頭が爆発しそう

[0012 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:26:50.923 ID:RJaMihqc0]

自明じゃね
証明書くから待て

[0013 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:27:56.326 ID:FykeePrT0]

>>9
なんどもイプデル条件書いたけど全然わかんない

>>10
f(n*x)という数列が0に収束するってことだよ

[0014 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:28:18.488 ID:FykeePrT0]

>>12
うおおお！！
めちゃくちゃ助かります
ありがとう！！

[0015 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:29:11.930 ID:k21OpheL0]

俺は何より高校までは≧だったのに何で大学行ったら下の一本線取れるのかのほうが悩むぞ
なら最初から一本抜いて教えろよと

[0016 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:30:25.184 ID:FykeePrT0]

>>10
つまり、任意のε>0に対して、ある「自然数」Nがあって(これはxに依存してよい)、自然数nがn＞Nのとき、
|f(n*x)|＜ε
ってことです

[0017 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:31:21.678 ID:FykeePrT0]

>>15
まあたしかにオシャレな書き方ぶってるよねｗｗ

大学院だと積分のdxとか省略するよ
あとΣの添字とかも省略する場合もある

[0018 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:31:46.155 ID:NJ2eS3qr0]

(f:R→R)∧(f:連続)∧(∀x>0,lim[n→∞]f(nx)=0)
→lim[t→∞]f(t)=0

[0019 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:32:47.460 ID:FykeePrT0]

>>18
それです
命題を改めて書いてくれてありがとう

ただここで注意なのは
lim[n→∞]は自然数を無限に飛ばしているということです

[0020 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:32:50.926 ID:pp/cGGfXr]

え？大学院生でこれわからんの？

[0021 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:33:18.598 ID:FykeePrT0]

>>20
わかんない...
すごい簡単そうに見えるでしょ？？

恐ろしく難しいよこれ

[0022 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:33:28.325 ID:l9FNFPqnd]

fが連続なんだから当たり前や
εδでもいいし、∞に発散する任意の数列をとってf(a_n)→0を書くでもいいし好きにしなされ

[0023 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:34:04.268 ID:Tlc4sIHid]

a＞0、Nは自然数で
Na=tとおくと
N→∞のときt→∞であることを示せばいいんだろ？

[0024 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:34:21.327 ID:k21OpheL0]

>>17
おそらく≧に関しては書くのめんどいしまぁこれでも意味は通じるし似たやつないしええか
的なノリなんだろうけどね

[0025 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:34:26.668 ID:FykeePrT0]

>>22
∞に発散する任意の数列をとってf(a_n)→0を書くでもいい
これが重要なんだけど、仮定の条件からそれをダイレクトには言えないんよ...

[0026 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:35:46.870 ID:FykeePrT0]

>>23
それは違うよ
t→∞はどんな∞への行き方でもってことだよ？
それだとN*x→∞という行き方しかなるくなるから証明として不十分だよ

[0027 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:35:57.925 ID:Uf6iVMVa0]

数学板いったほうがいい

[0028 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:36:12.354 ID:FykeePrT0]

正に>>4みたいな反例が出来る

[0029 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:36:28.460 ID:FykeePrT0]

>>27
数学板って人いるのかな

[0030 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:37:59.377 ID:Uf6iVMVa0]

以外といるし解答もしてくれるよ

[0031 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:38:22.770 ID:FykeePrT0]

>>30
マジか！ ありがとう！
じゃあ数学板で聞いてみる！！

[0032 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:38:37.650 ID:NJ2eS3qr0]

(∀x∈R+,∀ε1∈R+,∃M∈N,∀n∈N,[n>M→|f(nx)|<ε1])
→(∀ε2∈R+,∃T∈R,∀t∈R,[t>T→|f(t)|<ε2])

[0033 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:38:39.709 ID:FykeePrT0]

なんか過疎過疎で死んでるのかと思ってた

[0034 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:39:54.511 ID:Hc/FTzxEM]

分からない問題見たらYahoo知恵遅れみたいな嫌味言ってはぐらかす奴らばっかだろあそこ

[0035 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:39:55.559 ID:FykeePrT0]

>>32
素晴らしい
命題はその通りです
完璧です ありがとう

これがマジクソ難しいんよ...

[0036 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:40:00.767 ID:ikeo8Y9WM]

lim1/n=0

[0037 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:40:08.389 ID:dSuBPAVP0]

むずいな
連続って条件をどう使うのかがわからん

[0038 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:40:10.237 ID:mEiEp7GNM]

院生でこれって情けねえな

[0039 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:40:48.603 ID:FykeePrT0]

>>34
まじかー
まあでも嫌味言われるくらいなら全然いいんだ

[0040 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:41:03.509 ID:FykeePrT0]

>>37
そうなんだよ
連続をどういかすか...

[0041 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:41:22.638 ID:Uf6iVMVa0]

俺の時はちゃんと返してもらえたよ

[0042 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:41:27.644 ID:PY+HHHnr0]

何いってんだこいつら

[0043 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:41:30.667 ID:0JIzELcod]

f(x) = sin(2πx)は連続ですけど収束するんですか？

[0044 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:41:39.389 ID:FykeePrT0]

>>38
情けないよ...
クリスマスも一人で黙々と考えてなーんも出来ない
辛い...

[0045 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:41:56.959 ID:Uf6iVMVa0]

分からない問題はここに書いてね 471
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1635791922/
ここやね

[0046 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:42:41.630 ID:FykeePrT0]

>>43
収束するらしいね
>>4はあくまでx=1のときだけだと反例というだけだからね
x>0で任意に取ればsin(2πxn)は0には収束しないからね

[0047 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:42:44.943 ID:ikeo8Y9WM]

これじゃないの？
極限

↓

https://www.heisei-u.ac.jp/ba/fukui/pdf/mathtextA4.pdf

[0048 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:43:05.596 ID:FykeePrT0]

>>46
ごめん間違えた

収束するらしいね
じゃなくて
収束しないよ

だ

[0049 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:43:25.561 ID:FykeePrT0]

>>45
うおおお
こんなスレあったのか！
ありがとう

[0050 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:44:06.467 ID:UxLOGT7zM]

>>47
バカは黙ってろ

[0051 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:44:09.152 ID:FykeePrT0]

>>47
いやlim(n→∞)1/n = 0
を示す問題とは全然違うよ

[0052 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:44:16.580 ID:dSuBPAVP0]

簡単そうなんだけどなぁ

[0053 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:44:55.045 ID:FykeePrT0]

>>52
そうなんだよ！！！！！

簡単そうでしょ！！？？

もう頭おかしくなるの！！

この一週間この問題のせいで全部ぱああ！！

[0054 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:45:20.841 ID:FykeePrT0]

>>50
まあまあ
考えてくれるのは本当にありがたいです

[0055 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:45:55.639 ID:RJaMihqc0]

ああ、そうか
εNで真面目に示そうとして条件使う場合無限個の自然数のmaxを取ることになって有限のNが取れるとは限らんのか
ちゃんと考えると難しいな
全然自明じゃないわこれ

[0056 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:46:28.999 ID:ikeo8Y9WM]

>>50
解いてみろよバカ

[0057 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:47:43.642 ID:FykeePrT0]

>>55
あー
言いたいこと非常にわかります

本当にその条件がいやらしいんだよね

なんで俺はこんな簡単そうな命題を示せないんだろ...
って嫌になってしまう

[0058 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:49:13.379 ID:JdcOGVtr0]

連続関数の性質からf(nx)をいい感じにばらすとか？ 詳しくないから全然わからんけど

[0059 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:50:07.689 ID:FykeePrT0]

>>58
ばらすかー
なんとなく作戦としては稠密性を使いそうではあるとは思った

[0060 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:51:27.670 ID:RJaMihqc0]

>>59
俺もそんな気がする
Q上fが0に収束する→R上fが0に収束って言えるんだっけ

[0061 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:52:35.002 ID:FykeePrT0]

>>60
fが不連続だともちろんディリクレ関数みたいな反例あるけど
連続なら言えそうだね
ちょっとまってね

[0062 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:53:48.947 ID:RJaMihqc0]

>>61
もちろんf連続で
多分言えるよなこれ
ただQで考えたとて依然>>55の壁は突破できないや

[0063 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:54:48.319 ID:NJ2eS3qr0]

∀x∀ε∃δ∀t,[|t-x|<δ→|f(x)-f(t)|<ε]
∀x∀ε∃M∀n,[n>M→|f(nx)|<ε]

なんか似てるな

[0064 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:55:19.276 ID:FykeePrT0]

>>62
Q上→R上は示せました
今から書きます

まあ確かにその通りでまだギャップはありますね

[0065 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:56:42.473 ID:FykeePrT0]

>>63
連続の同値条件として、x_n→xなる任意数列に対して、
f(x_n)→f(x)
というのがあるからね

似るとは思います

[0066 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:58:00.263 ID:ikeo8Y9WM]

f(x_n)→f(x)→( ˙~˙ )

[0067 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 03:59:49.224 ID:dSuBPAVP0]

わからんな

[0068 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 04:04:05.801 ID:FykeePrT0]

仮定から、
「任意のε>0に対して、あるP∈Qがあり、
p’＞Pならば、|f(p’)|＜ε/2」
任意の実数xに対して、fの連続性から
「あるδ>0があり、|x-y|＜δならば
|f(x)-f(y)|＜ε/2」

ここで、Qの稠密性より、あるp∈Qがあり、|p-x|＜δ となる。したがって連続条件から|f(p)-f(x)|＜ε/2
また、x＞Pならば、δを十分小さくとることにより、p＞Pと出来る
よって、|f(x)|＜ε/2+|f(p)| ＜ε/2+ε/2=ε
となり命題を示せた

[0069 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 04:04:32.524 ID:FykeePrT0]

>>68は>>60の証明です...

[0070 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 04:05:50.616 ID:FykeePrT0]

>>67
ほんと難しいよね...
吐いちゃう...

[0071 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 04:06:54.992 ID:FykeePrT0]

>>66
おれの今の顔だ...

[0072 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 04:06:59.417 ID:RJaMihqc0]

>>68
なるほど、大丈夫そうだな

[0073 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 04:07:06.559 ID:dSuBPAVP0]

>>60
これってそんなに重要か？
>>32のTを見つけるだけだからそんなに難しくないように見えるんだが…

[0074 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 04:07:28.725 ID:Uf6iVMVa0]

数学系いかなくて良かった、胃に穴空きそう

[0075 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 04:07:52.515 ID:RJaMihqc0]

>>73
Tってどれだ…

[0076 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 04:08:30.139 ID:dSuBPAVP0]

>>75
∃TのT

[0077 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 04:08:49.749 ID:FykeePrT0]

>>73
まあ確かに

多分役には立たない主張だとは思うけど

なーーーんとなく考え方の手掛かりにはなりそうなんだよね...
xが無理数なら{n*xの小数部}_{n∈N}って数列は[0,1]上稠密だし

[0078 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 04:09:24.169 ID:dSuBPAVP0]

コンパクトとかあのへんのよくわからん話を使うんかな…
それだと非数学科の俺には出きなさそうだ…

[0079 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 04:09:24.989 ID:RJaMihqc0]

>>76
Mのことか？
そのMを取ってくるのがめっちゃ難しいって話になってる

[0080 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 04:09:40.400 ID:pp/cGGfXr]

ぐぐったら答出てきたけどくっそむずくて草

[0081 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 04:09:55.709 ID:FykeePrT0]

>>74
すげえ辛いよ...
たった一行の演習問題に一ヶ月悩むとかザラにあることです...

[0082 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 04:10:17.572 ID:Uf6iVMVa0]

ひぇっ

[0083 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 04:10:55.968 ID:FykeePrT0]

>>80
おえええ！！！？？？

ググったら出てきたの！！！？？？？

神！！！！！

どうやってググったの！！？？！

頼む！！！

[0084 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 04:10:57.225 ID:dSuBPAVP0]

>>79
俺の読み方が間違ってるのか？
示したいのは→の先だからTを取ってくるって話だろ？

[0085 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 04:11:50.224 ID:RJaMihqc0]

>>84
>>32のTってどれだ？
俺全然違うレス見てるのかな

[0086 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 04:12:07.990 ID:FykeePrT0]

>>78
うーん
今回は∞に飛ばすのでコンパクト性は使わないんじゃないかな... 全然わかんないけど

[0087 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 04:12:58.712 ID:0xdvVic+d]

>>80
ベールのカテゴリー定理でわろた
自明とか言ってた奴らｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

[0088 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 04:13:11.078 ID:stcfeOkiM]

点列連続的雰囲気を感じる

[0089 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 04:13:56.454 ID:dSuBPAVP0]

>>85

https://i.imgur.com/T97broA.png

[0090 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 04:13:59.868 ID:FykeePrT0]

>>87
はい？？？
まさかの範疇定理使うんか！！？？？

ごめんマジでどうやってググりましたか？？

[0091 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 04:14:38.981 ID:FykeePrT0]

俺は数学よりもググり方を勉強した方がいいのかもしれない...

[0092 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 04:14:51.286 ID:0xdvVic+d]

>>90
https://math.stackexchange.com/questions/101086/lim-n-to-inftyfnx-0-implies-lim-x-to-inftyfx-0

[0093 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2021/12/28(火) 04:15:13.164 ID:RJaMihqc0]

>>89
同じレスでも見えてるものが違った
何だこれ