数学詳しいやつ来て!!!!!
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
fを連続関数として
x>0となる任意の実数に対して
f(x),f(2x),f(3x),...が0に収束するとき、
lim(t→∞) f(t) = 0
が言えるらしいんだけどどうやって示せばいいの??
なんか当たり前のようで全然示せない >>2
いやそれだと自然数限定だから反例あるよ
例えばf(x) = sin(2πx)
とか >>6
でしょ??
なんかね これめっっっちゃくちゃ難しいの 真面目にイプシロンデルタで書き下せばわかるんじゃね? >x>0となる任意の実数に対して
>f(x),f(2x),f(3x),...が0に収束する
極限取ってないのに収束するってなんなの >>9
なんどもイプデル条件書いたけど全然わかんない
>>10
f(n*x)という数列が0に収束するってことだよ >>12
うおおお!!
めちゃくちゃ助かります
ありがとう!! 俺は何より高校までは≧だったのに何で大学行ったら下の一本線取れるのかのほうが悩むぞ
なら最初から一本抜いて教えろよと >>10
つまり、任意のε>0に対して、ある「自然数」Nがあって(これはxに依存してよい)、自然数nがn>Nのとき、
|f(n*x)|<ε
ってことです >>15
まあたしかにオシャレな書き方ぶってるよねww
大学院だと積分のdxとか省略するよ
あとΣの添字とかも省略する場合もある (f:R→R)∧(f:連続)∧(∀x>0,lim[n→∞]f(nx)=0)
→lim[t→∞]f(t)=0 >>18
それです
命題を改めて書いてくれてありがとう
ただここで注意なのは
lim[n→∞]は自然数を無限に飛ばしているということです >>20
わかんない...
すごい簡単そうに見えるでしょ??
恐ろしく難しいよこれ fが連続なんだから当たり前や
εδでもいいし、∞に発散する任意の数列をとってf(a_n)→0を書くでもいいし好きにしなされ a>0、Nは自然数で
Na=tとおくと
N→∞のときt→∞であることを示せばいいんだろ? >>17
おそらく≧に関しては書くのめんどいしまぁこれでも意味は通じるし似たやつないしええか
的なノリなんだろうけどね >>22
∞に発散する任意の数列をとってf(a_n)→0を書くでもいい
これが重要なんだけど、仮定の条件からそれをダイレクトには言えないんよ... >>23
それは違うよ
t→∞はどんな∞への行き方でもってことだよ?
それだとN*x→∞という行き方しかなるくなるから証明として不十分だよ >>30
マジか! ありがとう!
じゃあ数学板で聞いてみる!! (∀x∈R+,∀ε1∈R+,∃M∈N,∀n∈N,[n>M→|f(nx)|<ε1])
→(∀ε2∈R+,∃T∈R,∀t∈R,[t>T→|f(t)|<ε2]) 分からない問題見たらYahoo知恵遅れみたいな嫌味言ってはぐらかす奴らばっかだろあそこ >>32
素晴らしい
命題はその通りです
完璧です ありがとう
これがマジクソ難しいんよ... >>34
まじかー
まあでも嫌味言われるくらいなら全然いいんだ f(x) = sin(2πx)は連続ですけど収束するんですか? >>38
情けないよ...
クリスマスも一人で黙々と考えてなーんも出来ない
辛い... >>43
収束するらしいね
>>4はあくまでx=1のときだけだと反例というだけだからね
x>0で任意に取ればsin(2πxn)は0には収束しないからね >>46
ごめん間違えた
収束するらしいね
じゃなくて
収束しないよ
だ >>45
うおおお
こんなスレあったのか!
ありがとう >>47
いやlim(n→∞)1/n = 0
を示す問題とは全然違うよ >>52
そうなんだよ!!!!!
簡単そうでしょ!!??
もう頭おかしくなるの!!
この一週間この問題のせいで全部ぱああ!! >>50
まあまあ
考えてくれるのは本当にありがたいです ああ、そうか
εNで真面目に示そうとして条件使う場合無限個の自然数のmaxを取ることになって有限のNが取れるとは限らんのか
ちゃんと考えると難しいな
全然自明じゃないわこれ >>55
あー
言いたいこと非常にわかります
本当にその条件がいやらしいんだよね
なんで俺はこんな簡単そうな命題を示せないんだろ...
って嫌になってしまう 連続関数の性質からf(nx)をいい感じにばらすとか? 詳しくないから全然わからんけど >>58
ばらすかー
なんとなく作戦としては稠密性を使いそうではあるとは思った >>59
俺もそんな気がする
Q上fが0に収束する→R上fが0に収束って言えるんだっけ >>60
fが不連続だともちろんディリクレ関数みたいな反例あるけど
連続なら言えそうだね
ちょっとまってね >>61
もちろんf連続で
多分言えるよなこれ
ただQで考えたとて依然>>55の壁は突破できないや ∀x∀ε∃δ∀t,[|t-x|<δ→|f(x)-f(t)|<ε]
∀x∀ε∃M∀n,[n>M→|f(nx)|<ε]
なんか似てるな >>62
Q上→R上は示せました
今から書きます
まあ確かにその通りでまだギャップはありますね >>63
連続の同値条件として、x_n→xなる任意数列に対して、
f(x_n)→f(x)
というのがあるからね
似るとは思います 仮定から、
「任意のε>0に対して、あるP∈Qがあり、
p’>Pならば、|f(p’)|<ε/2」
任意の実数xに対して、fの連続性から
「あるδ>0があり、|x-y|<δならば
|f(x)-f(y)|<ε/2」
ここで、Qの稠密性より、あるp∈Qがあり、|p-x|<δ となる。したがって連続条件から|f(p)-f(x)|<ε/2
また、x>Pならば、δを十分小さくとることにより、p>Pと出来る
よって、|f(x)|<ε/2+|f(p)| <ε/2+ε/2=ε
となり命題を示せた >>67
ほんと難しいよね...
吐いちゃう... >>60
これってそんなに重要か?
>>32のTを見つけるだけだからそんなに難しくないように見えるんだが… >>73
まあ確かに
多分役には立たない主張だとは思うけど
なーーーんとなく考え方の手掛かりにはなりそうなんだよね...
xが無理数なら{n*xの小数部}_{n∈N}って数列は[0,1]上稠密だし コンパクトとかあのへんのよくわからん話を使うんかな…
それだと非数学科の俺には出きなさそうだ… >>76
Mのことか?
そのMを取ってくるのがめっちゃ難しいって話になってる >>74
すげえ辛いよ...
たった一行の演習問題に一ヶ月悩むとかザラにあることです... >>80
おえええ!!!???
ググったら出てきたの!!!????
神!!!!!
どうやってググったの!!??!
頼む!!! >>79
俺の読み方が間違ってるのか?
示したいのは→の先だからTを取ってくるって話だろ? >>84
>>32のTってどれだ?
俺全然違うレス見てるのかな >>78
うーん
今回は∞に飛ばすのでコンパクト性は使わないんじゃないかな... 全然わかんないけど >>80
ベールのカテゴリー定理でわろた
自明とか言ってた奴らwwwwwwwwww >>87
はい???
まさかの範疇定理使うんか!!???
ごめんマジでどうやってググりましたか?? 俺は数学よりもググり方を勉強した方がいいのかもしれない... >>89
同じレスでも見えてるものが違った
何だこれ >>92
うおおおおお!!!!
神さま!!!
仏様!!!
本当に本当にありがとう!!!!
うわああああ!!!
すげえ!! >>92
神様ありがとうございます...
今から死ぬ気で読み込みます
ちなみにどうやってググりましたか? >>96
簡単に言えば
内点の無い閉集合で和集合とっても全体にならないって主張です
たしか完備距離空間なら言えたはずです おい!非数学科にもわかるように説明せい!
このスレに時間を使った俺にも学びをよそせ >>104
ヒント無しというか、とある論文でさらっとこれが使われていたんだ
この論文をゼミで発表しないといけなくて死にそうになってました >>105
論文のサーベイで出てきたものです...
いやでもさすがVIPPERだ
VIPで聞いて本当に助かりました
検索能力向上します 背理法で示す
自然数nに対してt_n≧nが存在して|f(t_n)|≧εと仮定する
t_n<m_nを満たす最小の整数m_nをとる
t_n/m_nは有界閉区間[0,1]にあるので、集積点Tを持つ
任意の自然数kに対し、xをf(kx)に写す写像は連続である
よってT≠0ならば、f(kt_n/m_n)のある部分列はf(kT)に収束する
K=m_nのとき、f(t_n)の部分列はf(m_n T)に収束する
これは0に収束するはずであるが、t_nのとり方に矛盾
T=0の場合は任せた >>108
うおおおありがとう! すげえよ
ちなみにどうして「functional analysis」をつけようと思ったの? 俺のイプシロンデルタでは刃が立たない問題だったようだな…
もっと数学勉強して力をつけるか… >>109
集積点Tは部分列での収束なので厳しいんじゃないかな >>109は
k=m_nのとき、f(t_n)の部分列はf(m_n T)に収束する
が間違い t_n/m_nの部分列をうまくとることで、Tに収束まではたしかに言えますね ごめん部分列は言ってたんか
>>116
あーなるほど依存関係あるのでk=m_nにできないってことか
失礼しました >>90見るとfは非負関数になってるけどその辺どうなのよ >>119
定義域が正なだけだから問題ないよ!
x>0としているので >>111
とりあえず関数列作って一様収束かなぁ……と思って関数解析をつけてみただけだったり
>>83のググり方は俺も気になる >>122
いやー
その鋭い勘がお見事すぎます
なるほどね
検索にもその一手間かけることが重要なのか
ググり力は偉大だ... なるほど...
やっと証明理解したけどこれは解けなかったわけだわ...
こんなん考える奴頭良すぎだろ... ちゃんとゼミ発表ではスペシャルサンクス:VIPのみんなって書くんだぞ >>126
おk!!!
refのところに英語で書いとくわ!!
どうせrefは誰も見てないだろうしww
とにかくおまえらには感謝だ!!
ありがとう!!!
これで成仏できる!!! >>129
おkwwww
教授にバレたらどうしよww
まあ緩いひとだからいいかww もし高校生がいたら、
計算が好きだからという理由で数学科に行かない方がいいよ!!!
数学以外何もいらないレベルじゃないと地獄見るよ!!
クリスマスでもひたすらたった一行の問題考えるハメになるよ!! 証明見たけどF_nの取り方が上手いなぁ
カテゴリー定理使うと分かっていても無理だこれ 解答が存在する問題なら総当たりすれば解答作れるから大丈夫 >>133
ね、ヒント:カテゴリー定理を使用
ってあっても一週間はかかるレベルだ
しかも論文にはそれすら書いてなかった超イジワル >>134
それいったらフェルマーの最終定理もそうなっちゃうよ! >>135
院卒で今は数学から離れてます……
今でも微分ガロアはわくわくすっぞ >>138
「あ」「い」「う」……「ああ」「あい」……「あああ」……
みたいにして順番に見ていけばそのうち証明が見つかるよ >>139
おおお! 学位持ちの方でしたか すごい
あああ微分ガロアいいよね! 最近勉強しました
リウヴィルの判定法を導出したときは感動したなー
いかにも解析学的な問いを体論という枠組みで考えるのはホント面白い >>140
論理記号を辞書式に並べるってことかwwww
5兆年くらいかかりそうだなww これ連続じゃなかったら成り立たないってこと?
反例は? ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています