a[n]=e^(-n)
b[n]=e^(n)/n^2
でいいか

b[n]>e^(n/2)となるnだけで和をとると
Σa[n]<∞
Σa[n]b[n] < ∞
Σa[n]b[n]log(1+b[n]) > Σn/2n^2=∞