数学・アルゴリズム得意民集まれ

[0001 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/26(日) 13:39:53.774 ID:HnSwITYj0]

N個の整数からなる数列{a_i}があって、それを昇順にソートしたい
ただし、許される操作は「隣合うものをスワップする」事だけ
この時、最小の操作回数でソートするアルゴリズムは？

制約条件:
1≦N≦5*10^6
0≦a_i≦10^9


これは蟻本に載ってた問題の改題
アルゴリズムは思いついたんだけど、それが「操作回数最小」になることの証明ができない

[0002 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/26(日) 13:40:17.779 ID:FzlXnVZF0]

ググれ

[0003 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/26(日) 13:40:43.643 ID:HnSwITYj0]

ググって分かるものではない

[0004 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/26(日) 13:42:15.982 ID:HnSwITYj0]

ちなみにこのアルゴリズムの正解は、

要素のうち最大のものを取り、操作を繰り返して最後尾に持っていく
これを繰り返す

[0005 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/26(日) 13:42:58.889 ID:HnSwITYj0]

最小のものを先頭に持っていく、でもいいはず

これらがなぜ操作回数最小を達成するのか、誰か考えてくれ

[0006 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/26(日) 13:43:56.687 ID:wjcDjUFrd]

課題は自力でやろう

[0007 警備員[Lv.18] 2024/05/26(日) 13:43:58.519 ID:kRQbEyX/0]

数列 {a_i} を昇順にソートする際に隣接する要素のスワップだけを許される操作で最小の操作回数を求める問題について、最小の操作回数でソートするアルゴリズムは **バブルソート** を利用することで実現できます。バブルソートは最小の操作回数を達成しますが、具体的には **転倒数 (inversion count)** を計算し、その数が最小のスワップ回数になります。

### 転倒数の定義とバブルソートの関係

転倒数とは、数列においてi < j かつ a_i > a_j となる組(i, j)の数です。転倒数はその数列をソートするために必要な最小のスワップ回数と一致します。バブルソートは隣接する要素をスワップすることで転倒数を一つずつ減らし、最終的に0にするアルゴリズムです。

### 転倒数の計算方法

転倒数を効率的に計算するためには、分割統治法（例えばマージソート）を使います。以下の手順で転倒数を計算します。

1. 数列を二つに分割します。
2. 各部分について再帰的に転倒数を計算します。
3. マージする際に転倒数を計算します。

### 証明のポイント

バブルソートが転倒数を1つずつ減らすことに注目すると、バブルソートは常に最小のスワップ回数で数列をソートすることができます。転倒数がその数列の最小スワップ回数を表すため、バブルソートを利用することは最適であると証明できます。

1. **転倒数とスワップ回数の関係**: 各スワップ操作は転倒数を1だけ減らします。
2. **最小のスワップ回数**: 転倒数が0になるまでのスワップ回数が最小のスワップ回数です。
3. **バブルソートの有効性**: バブルソートは逐次的に隣接する要素を比較・スワップするため、常に転倒数を1ずつ減らし、最小のスワップ回数で完了します。

このようにして、数列を隣接スワップのみで昇順にソートするための最小操作回数を求めることができます。

[0008 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/26(日) 13:44:28.923 ID:jyVtJZRI0]

隣同士でしか操作できないならそれくらいかかるよね

[0009 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/26(日) 13:45:54.918 ID:CDi09Fmv0]

バブルソートくらいググれば即出るだろ

[0010 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/26(日) 13:46:19.293 ID:HnSwITYj0]

これバブルソートなんだっけ
俺のバブルソートに対するイメージが違ったかも

[0011 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/26(日) 13:46:25.618 ID:AIWPTshN0]

お前のGPTはバブルソートを選んだか
おれのGPTはマージソートを出したわ

[0012 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/26(日) 13:53:27.563 ID:HnSwITYj0]

店頭数がソートに必要な最小回数と一致することはどうやって示せばいいんだろ

[0013 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/26(日) 13:54:17.047 ID:HnSwITYj0]

VIPにいた数学ガチ勢は退散しちまったのか

[0014 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/26(日) 13:56:30.045 ID:AIWPTshN0]

GPT4oに聞けば教えてくれるで

[0015 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/26(日) 14:01:12.507 ID:HnSwITYj0]

いや、よく考えたら簡単かも

題意の操作を1回行ったとき、転倒数の減少は最大でも1だから、任意のアルゴリズムについて操作回数は転倒数以上になる。
バブルソートは毎回の操作で必ず転倒数を1減少させるから、これが最適

QED

[0016 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/05/26(日) 14:01:25.503 ID:HnSwITYj0]

解決したわ
解散