0001以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
2024/02/01(木) 23:06:17.011ID:4Nh+zj6I0R^2から極座標に切り替えます🥺
θについての関数rを用いて、経路は極座標で(r(θ),θ) (θ∈[-π/2,π/2])というふうに表します🥺
始点は(1,-π/2),終点は(1,π/2)となるので、r(±π/2)=1です🥺……(i)
極座標における線素dsはds=√(dr^2+r^2dθ^2)となるので、ds/dθ=√(r'^2+r^2) ('(プライム)はθによる微分を表す)🥺
移動速度が距離に比例するので、比例係数aを用いてds/dt=ar🥺
移動時間Tは
T=∫dt
=∫[-π/2,π/2](dt/ds)(ds/dθ)dθ
=∫[-π/2,π/2](√(r'^2+r^2))/r dθ
L:=(√(r'^2+r^2))/rとして
=∫[-π/2,π/2]Ldθ
このTを最小化することを考えます🥺
TをLのθによる積分形で表せたので、変分法が使えます🥺
ラグランジュ方程式は
d/dθ(∂L/∂r')-∂L/∂r=0
この微分方程式をシコシコ整理していくと以下になります🥺
r^2(r''r-r'^2)=0
これを解くと、r=0,Aexp(Bθ)となります🥺
(i)より、r=0は不適です
また、Aexp(-Bπ/2)=Aexp(Bπ/2)=1より、A^2=1→A=±1🥺
(i)よりA=-1は不適です🥺
よってA=1で、さらに(i)より、B=0です🥺
よってr=1が解です🥺
