任意の実数xに対してf(f(x)) = f(x)を充たすf(x)を求めよ

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任意の実数xに対してf(f(x)) = f(x)を充たすf(x)を求めよ

与えられた等式を満たす関数f(x)を求める問題は、函数方程式の一種です。

まず、f(x)が定数関数である場合、f(f(x)) = f(x)が恒等的に成立するため、条件を満たします。

次に、f(x)が定数関数でない場合を考えます。この場合、f(x)は1つ以上の不動点を持ちます。不動点とは、f(x) = xとなるxの値です。

f(f(x)) = f(x)の両辺にf(x)を適用すると、f(f(f(x))) = f(f(x))となります。この式にf(x) = xを代入すると、f(f(f(x))) = f(f(x)) = f(x) = xとなります。つまり、xはf(x)の不動点であることがわかります。

次に、f(x)が不動点以外の値yに対してf(y) = xを満たす場合を考えます。この場合、f(x) = yとなり、f(y) = xとなります。この式にf(x) = yを代入すると、f(y) = f(f(x)) = f(x) = yとなり、yはf(y)の不動点であることがわかります。

以上から、f(x)が不動点を持つ場合、f(x)はその不動点を含む同値類に属する値のうちの1つを取ることがわかります。不動点を持たない場合、f(x)は定数関数であることがわかります。

したがって、f(f(x)) = f(x)を満たす関数f(x)は、定数関数またはxを含む同値類に属する値のうちの1つを取る関数です。