0001以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
2023/03/10(金) 01:39:53.505ID:g8EK5eTy0問.tan(1°)は有理数か、証明せよ
chatgpt君の回答
tan(1°)が有理数であるかどうかを調べるためには、まずtan(1°)を小数として計算します。しかし、tan(1°)は三角関数の値として正確に表現することができないため、有限桁の小数でしか表せません。
そこで、tan(1°)を以下のように表すことができます。
tan(1°) = sin(1°) / cos(1°)
ここで、sin(1°)とcos(1°)はどちらも三角関数の値であり、実数です。また、sin(1°)とcos(1°)はどちらも有理数倍角の公式によって求めることができます。
具体的には、以下のようになります。
sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)
cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ)
θ = 0.5°とすると、sin(1°)とcos(1°)は以下のように求めることができます。
sin(1°) = 2sin(0.5°)cos(0.5°) = 2(√(3) - 2)/4 = (√(3) - 2)/2
cos(1°) = cos²(0.5°) - sin²(0.5°) = (√(3) + 1)/4 - (√(3) - 1)/4 = 1/2√(3)
したがって、tan(1°)は以下のようになります。
tan(1°) = sin(1°) / cos(1°) = (√(3) - 2) / (√(3) + 1)
ここで、√(3) - 2と√(3) + 1はどちらも有理数ではありません。よって、tan(1°)は有理数ではありません。
したがって、tan(1°)は有理数ではないことが証明されました。
