「数学」p,q,rが素数のとき、p^q+1=rを満たす(p,q.r)を全て求めよ

[0001 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2022/09/02(金) 17:58:47.728 ID:qDHS0xq/0]

意外と簡単

[0002 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2022/09/02(金) 17:59:41.494 ID:lviDoBNL0]

^q^

[0003 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2022/09/02(金) 18:00:07.200 ID:6xQPW3Xzr]

p,q 計算式くんを泣かせないで

[0004 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2022/09/02(金) 18:00:12.416 ID:Q9+hUPMtp]

(p,q,r)=(2,2,5)

[0005 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2022/09/02(金) 18:02:25.398 ID:0nOG3bwe0]

わかるけどね

[0006 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2022/09/02(金) 18:06:02.533 ID:iH36o5Oca]

pは2固定
2^q+1が素数になるパターンが有限なのか？

[0007 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2022/09/02(金) 18:10:01.543 ID:qDHS0xq/0]

合同式と因数分解のそれぞれで考える方法があるとヒント

[0008 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2022/09/02(金) 18:13:15.261 ID:lviDoBNL0]

合同式使うんだろなとは思った

[0009 ケロイドカルパッチョ ◆XFDO5cuQ4g 2022/09/02(金) 18:13:29.117 ID:MrbwKfFD0]

>>6
qが奇数なら
2^q+1≡0(mod3)
左辺≧5で右辺≠3だからq奇数はアウト
qは偶素数2しかない

[0010 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2022/09/02(金) 18:14:21.950 ID:qDHS0xq/0]

qは2以外の偶数をとらないことは明らか
あとはある数の奇数乗を因数分解できることから導かれる

[0011 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2022/09/02(金) 18:17:39.447 ID:qDHS0xq/0]

2以上じゃなくて「2を超える偶数」だった
ごめん

[0012 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2022/09/02(金) 18:22:00.346 ID:M3fv1TJQ0]

2^q+1=rを満たすqrもとめる
q mod2=1のとき

2*4^n+1

mod 3 で
2*1^n+1=3=0
→q mod2=1ではrが素数にならない

q mod2=0だと条件満たす素数qは2のみで2,2,5か

[0013 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2022/09/02(金) 18:22:51.571 ID:i7Y6NaLQ0]

pが奇数の場合、p^qもまた奇数であり、r=p^q+1は10以上の偶数になる
しかしこれはrが素数であることと矛盾
よってpは偶数であり、さらに素数なのでp=2

また「r=2^q+1は素数であるとき、qは2の累乗である」ことを背理法により示す
q=(2^i)*oと表せると仮定すると、(iは非負整数、oは3以上の奇数)
r=2^((2^i)*o)+1
=(2^(2^i))^o+1
2^(2^i)=xと置くと
r=x^o+1
oは奇数なのでx=-1のときr=(-1)^o+1=-1+1=0
よってx^o+1は因数に(x+1)を含み、r=(x+1)f(x)と表せる
(x+1)=(2^(2^i)+1)より、(x+1)≧3の奇数となる
rの素因数に奇数があるのはrが素数であることに反するので、q=(2^i)*oと表すことはできない
よってq=2^iとなり、qもまた素数であることからq=2^1=2、r=(2^2+1)=5
(p,q,r)=(2,2,5)

[0014 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします🐙 2022/09/02(金) 18:27:36.925 ID:8Dlo2eup0]

すまん、余白が狭すぎて書けなかった

[0015 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2022/09/02(金) 18:28:00.131 ID:i7Y6NaLQ0]

>>13
間違えた

[0016 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2022/09/02(金) 18:31:20.043 ID:qDHS0xq/0]

もうちょっとしたら解答を貼ってみる
時間超えたらごめん

[0017 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2022/09/02(金) 18:39:49.487 ID:qDHS0xq/0]

ミスや抜けがあったら指摘して

出題：p,q,rが素数のとき、p^q+1=rを満たす(p,q.r)を全て求めよ

① r=2となる場合
p^q=1 となるのはp=1かつq=1のとき、又は任意の素数pに対してq=0の場合だけなので条件を満たさないため存在しない

② r=3となる場合
p^q=2となるのはp=2かつq=1の場合のみであり、条件を満たさない。

③ r≧5となる場合
p^qは偶数でなければならないためp=2である。
q=2のとき、r=5となり条件を満たす。

それ以外の場合では、qは3以上の奇数となるが、
2^q+1=(2+1)(2^(q-1)-2^(q-2)*1+…-2*1+1)
と因数分解できるため、与式左辺は必ず3の倍数となる。

よって(p,q,r)=(2,2,5)が解答

※
合同式を使う場合

③においてqを3以上の奇数とすると
mod 3にて
2^q + 1 ≡ (-1)^q + 1 ≡ -1 + 1 ≡ 0
よって3の倍数になるため、条件を満たさない

[0018 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2022/09/02(金) 18:43:21.706 ID:BDHD1r490]

p≠2は余式左辺が偶数になるので自明

p=2のときq≠2とすると
余式左辺は因数分解できる

よってp=q=2
あとは計算してr=5