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数学の問題作ったから高学歴VIPPER解いてみて！
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0001以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 20:48:56.251ID:4rYcan8wa
中心O、半径1の円の内部に、被らないようにいくつかの円を配置します

このとき、それぞれの円の(中心からOまでの距離×半径)^2の和は1/2以下となることを示してください
0002以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 20:49:27.499ID:sK1We3sd0
3
0003以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 20:49:53.046ID:4rYcan8wa
>>2
証明問題だから3とかじゃないんよ
0004以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 20:50:14.952ID:ARjk4/KQ0
じゃあ4
0005以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 20:50:19.312ID:muiDdkY80
πだろ
0006以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 20:50:20.649ID:sK1We3sd0
4か
0007以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 20:50:27.629ID:4rYcan8wa
ちなみに1/2はsupなのでこれ以上小さくは出来ません
0008以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 20:50:41.535ID:4rYcan8wa
>>4-6
ざんねん
0009以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 20:51:15.704ID:xbIMGPjm0
まあ簡単だわな
0010以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 20:51:17.647ID:cnaMn1R50
解けたがここに書くには余白がたりない
0011以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 20:51:28.618ID:4rYcan8wa
>>9
おおやるじゃん
さすが高学歴集団
0012以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 20:51:44.846ID:4rYcan8wa
>>10
フェルマーもVIPPERだったか
0013以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 20:52:01.290ID:GAYnkMXD0
それを示すことに価値を見出せない
中心から半径までの距離の二乗って何の面積なんだよ
0014以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 20:52:39.940ID:4rYcan8wa
>>13
中心から半径の二乗じゃないぞ
中心までの距離×半径の二乗だぞ
0015以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 20:52:54.465ID:B83ng+qX0
こういうのはとりあえず実験だな
0016以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 20:53:03.408ID:muiDdkY80
じゃあπ/2だ
0017以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 20:53:13.299ID:4rYcan8wa
>>13
面積に対応するわけじゃないけど
円に円を詰め込む問題の定量的評価になってるよ
0018以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 20:53:32.793ID:4rYcan8wa
>>15
おおやるじゃん

>>16
証明問題だよ
0019以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 20:53:34.799ID:GAYnkMXD0
>>14
んでその値には何かしらの利用価値があんのか
0020以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 20:54:18.062ID:4rYcan8wa
>>19
ある種のパッキング問題の必要条件になってるよ

これが成立しないとパッキングできないという判断材料のひとつになる
0021以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 20:55:55.607ID:zALIEqjM0
わかった
1/2を超えると円から溢れるからQAD
0022以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 20:56:25.802ID:GAYnkMXD0
>>20
そもそもそんな容器に筒を入れようとするな
0023以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 20:56:34.056ID:4rYcan8wa
>>21
1/2超えると円から溢れるのはなぜ？
0024以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 20:57:00.265ID:4rYcan8wa
>>22
じゃあ解かなくていいよ
0025以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 20:58:07.752ID:s8ZbybTH0
>>4
これな
0026以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 20:58:11.609ID:Ch0dyVmG0
作図すればわかる
0027以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 20:58:30.742ID:4rYcan8wa
>>26
おおユークリッド的天才か？
0028以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 20:58:35.827ID:C6+1T/q40
でも正直最大値が円2の1/2のことは自明だよね
単調増加ではないけど
0029以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 20:59:08.240ID:4rYcan8wa
>>28
円二つじゃ1/2になりえないよ
0030以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 20:59:17.235ID:AdFJgOIo0
大学受験を思い出す感じだな
こういう図形と関数を組み合わせたような問題は無理だったわ
0031以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 21:00:29.264ID:s8ZbybTH0
これは流石にむずい
0032以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 21:00:42.249ID:0qmidKkk0
紙が必要な感じの問題？
必要ないなら考える
0033以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 21:01:25.694ID:4rYcan8wa
>>30
確かに受験問題チックだね
0034以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 21:01:52.915ID:4rYcan8wa
>>32
紙はギリいらないよ

実際解答自体は3行とかだよ
0035以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 21:01:58.268ID:xD9SviCv0
鳩の巣原理だろ？簡単すぎ
0036以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 21:02:41.871ID:4rYcan8wa
>>35
それぞれの円のサイズが違うから鳩ノ巣は使えないんじゃないかな
わからないけど
少なくとも俺が用意した解法だと使わないよ
0037以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 21:02:45.025ID:0qmidKkk0
考えよ
0038以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 21:02:54.909ID:4rYcan8wa
>>37
ありがと！！！
0039以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 21:04:16.046ID:xD9SviCv0
sup 1/2の円を内部に中心どこか取る
この時もう一個必ず円がもう一つ作れる
はい論破w
0040以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 21:04:34.508ID:0qmidKkk0
とりあえず中心を跨がない方がいいのはすぐわかるな
0041以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 21:04:39.095ID:UTg5fOJr0
中学数学の知識で解ける？
0042以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 21:06:05.630ID:4rYcan8wa
>>39
supって概念は達成するとは限らないんよ

例えば[0,1) (0以上1未満の集合)は1がsupだけど1自体は達成できない
0043以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 21:06:21.754ID:4rYcan8wa
>>40
おお
0044以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 21:06:34.212ID:4rYcan8wa
>>41
ごめんそれは無理だね
0045以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 21:13:00.011ID:NmqSWveJ0
和だから最大を出すっぽいけど作図必要？
0046以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 21:13:26.405ID:s8ZbybTH0
一つの円だけで考えるならr=1/2で最大なのはわかるけど
円のサイズによって敷き詰めれる円の数というか量が変わるじゃん？

無理
0047以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 21:13:30.865ID:4rYcan8wa
>>45
ちなみに作図は一切必要ないよ
0048以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 21:13:55.475ID:YRehAjZo0
無限に円が入るんだから作図は無理でしょ
0049以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 21:14:34.736ID:4rYcan8wa
>>46
一つの円だとどうやっても1/2にはならないはずだよ

(中心からOまでの距離)×(半径)　の二乗なので
0050以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 21:14:48.704ID:s8ZbybTH0
絶対面積絡んでくると思うんだよな
それと-r^2+r
0051以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 21:15:13.273ID:4rYcan8wa
>>46
円のサイズも位置も数もバラバラだね
それを一体どのようにして統一的に扱うか
0052以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 21:15:36.787ID:4rYcan8wa
>>48
まさしくその通りです
なにか集合論的アプローチが必要
0053以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 21:15:49.510ID:4rYcan8wa
>>50
ややや
0054以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 21:16:48.963ID:rE//+QEa0
>>1の（）使った日本語が変でよくわからない
0055以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 21:18:52.877ID:4rYcan8wa
>>54
ゴメン
それぞれの円の
{(中心からOまでの距離)×(半径)}^2の和です
0056以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 21:28:32.178ID:tKm0rwaE0
半径1/2の円を4個書いても1/4だから、被りがない円だと1/2いかない
0057以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 21:29:30.593ID:4rYcan8wa
>>56
1/2にはならないけど実はいくらでも1/2に近付くことは示せるよ
0058以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 21:35:53.464ID:0qmidKkk0
細かくすれば改善するため～みたいな方針でいこうとしたけど全然違ったわ
どうするんだろう
0059以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 21:42:09.891ID:0qmidKkk0
いや違わないか？わからん
0060以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 21:46:45.121ID:0qmidKkk0
この方針でいいっぽいな
薄いドーナツを小さい円で充填率1になるまで満たすのを考える∫[r=0→1]2r^3dr=1/2に近付く
0061以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 22:01:17.311ID:0qmidKkk0
・無限個の円たちでスコアがSのものがあった時、任意のε>0に対してこれらの有限部分集合でスコアがS-ε以上のものがとれる

・任意の条件を満たす有限個の円たちと、任意のε>0に対して、有限個の円たちのスコアをSとして、薄っぺらいドーナツに小さい円を充填したものでスコアがS-ε以上のものが取れる

はすぐわかるからあとは

・円を細かくしてスコアを上げられる

が示せればいいが…
0062以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 22:07:34.071ID:0qmidKkk0
多分この部分の面積を評価すれば小さい円でスコアが下がらないのも示せるはず
計算が大変そうだからここまでで
0063以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 22:09:55.619ID:hz1RoeyI0
円の内部に任意の同心円作って差から1/2に満たないって感じじゃ無理そうだな
0064以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 22:56:11.052ID:4rYcan8wa
ゴメンちょっと急用で出掛けてた
今から検討します
0065以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 22:59:56.369ID:4rYcan8wa
>>60
おおおいいね
まさに1/2の近づけ方は
円の半径をどんどん小さくしていき、限りなく円内を埋め尽くせばいいという感じです
0066以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 23:01:17.813ID:4rYcan8wa
>>61
たしかにこれで細かさ→和の増大が示せれば
あとはsupの定義から1/2がわかるね
0067以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 23:02:51.129ID:4rYcan8wa
>>62
面白い方針ではあるけど確かに計算が重たいね
実はとある工夫をすれば計算はほとんどいりません
0068以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 23:09:08.438ID:4rYcan8wa
>>60-61
改めてドーナツ上に区切って、ドーナツの幅をΔrとして
足し合わせればrの積分になるという発想はとても頭いいですね
これはこれで確かにこの方針としてうまくいけそう
0069以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 23:31:50.112ID:0qmidKkk0
計算しないでいけるのかぁ
0070以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 23:36:42.281ID:4rYcan8wa
>>69
劣調和関数(Δu≧0を満たす関数u)のとある性質を認めれば計算はほとんどいらないという感じですね
0071以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 23:47:00.030ID:0qmidKkk0
PDEのノート探してくるか
0072以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 23:48:10.314ID:4rYcan8wa
>>71
おおPDE受講済みか
数学科？
0073以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 23:50:44.685ID:0qmidKkk0
>>72
Dでドロップアウトした落ちこぼれ
0074以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 23:52:07.392ID:4rYcan8wa
>>73
ピュアマスでドクター行けた時点で数学に関してはハイパーエリートだぞ
0075以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 23:54:49.476ID:0qmidKkk0
|z|^2 = x^2+y^2が劣調和だから
|z|^2 ≦ (1/2π)∫[0,2π]|z+re^(iθ)|^2dθ
足し合わせて
Σ|z_c|^2 ≦ Σ∫∫[(x,y)∈c](x^2+y^2)dxdy
≦∫∫(x^2+y^2)dxdy = ∫∫r^2 * rdrdθ = π/2
か～
こんなの完全に忘れてた
0076以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 23:56:21.887ID:4rYcan8wa
>>75
うおおおおお！！！！
ｷﾀ━━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━━!!

まさしくその通り！！！　大正解！
完璧！cが円の属だよね

まさしく劣調和関数に対する平均値の性質を使う問題でしたー
0077以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 23:57:04.225ID:4rYcan8wa
お見事
和を積分に変換して円の和集合を統一的に扱う
というのがポイントでしたー
0078以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 23:58:06.121ID:0qmidKkk0
中心z半径rの円に対して
|z|^2 ≦ (1/2πr^2)∫[0,2π]|z+re^(iθ)|^2dθ
r^2|z|^2 ≦ (1/2π)∫[0,2π]|z+re^(iθ)|^2dθ
か
間違った
0079以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 23:58:36.889ID:i0h1aj6X0
3行で解けるという模範解答は？
0080以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 23:58:51.770ID:0qmidKkk0
数学忘れそうだから問題スレは積極的にたててくれ
0081以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/19(金) 23:59:14.958ID:4rYcan8wa
>>78
失礼しました
確かに積分平均の操作が必要だね

まあ平均値の性質を認めなくとも
強引に計算すれば
∫_B(r;x_0,y_0) (x^2+y^2) dxdy≧ πr^2 {(x_0)^2+(y_0)^2}
は導けますね
0082以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/20(土) 00:02:41.789ID:Jwya3+RF0
うんうんなるほど
0083以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/20(土) 00:03:22.829ID:3HLBNofua
>>79
>>75とほぼ変わらないけど

「u(x,y)=x^2+y^2とおけば、Δu=2≧0より、uは劣調和
よって平均値の性質からπΣ_{n=1}^∞ (r_n)^2 {(x_n)^2+(y_n)^2}≦∫_{∪_{n=1}^∞ B(r_n,(x_n,y_n)) (x^2+y^2)dxdy≦∫_B(1;0) (x^2+y^2)dxdy =π/2」
という感じですね
0084以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/20(土) 00:05:24.661ID:3HLBNofua
>>80
お見事でした
この和と積分の不等式対応が中々素人じゃ思いつかない所

このように集合の中に沢山集合がある量の評価は積分で扱ったほうがよい、という問題でした
だ
0086以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/08/20(土) 00:07:28.855ID:3HLBNofua
>>85
この手の問題は背理法だと中々難しそう
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