いろんな解き方があるけれど… z^2 + (1/z^2)=1のとき、z^100 + (1/z^100)の値を求めよ

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2022/08/04(木) 12:03:19.625

二時間くらい複雑な手順でなんとか解答を求めたが、
できる人なら2分30秒で解けてしまう問題だった

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2022/08/04(木) 12:03:46.634

宿題他力本願定期

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2022/08/04(木) 12:04:23.803

>>2
考えまくって解けたのだけをネタに使ってる

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2022/08/04(木) 12:05:41.347

漸化式 QED

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2022/08/04(木) 12:06:35.501

>>4
瞬殺できる解法がある

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2022/08/04(木) 12:09:25.967

最初の式をz=～にしてド･モアブル使えばよくね？

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2022/08/04(木) 12:12:07.862

1-Σ100Ck？

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2022/08/04(木) 12:13:47.122

ちがうか

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2022/08/04(木) 12:18:05.626

これって　z^4 - z^2 +1 = 0 から　z^2 を求めることができるが複素数解
そこでx=z^2と置くと x^2 - x + 1 = 0という見慣れた方程式
これに(x-1)を掛けてやると、単純な形になる
それで瞬殺

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2022/08/04(木) 12:18:34.304

普通にz2について解いて代入すればいいのか？

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2022/08/04(木) 12:18:38.324

間違えた(x+1)ね

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2022/08/04(木) 12:19:01.447

>>10
死ぬほど時間がかかると思う

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2022/08/04(木) 12:27:32.156

ちなみに俺は(z+1/z)^2=z^2+(1/z^2)+2から

z+1/z=±√(1+2)=±√3

としてシコシコ解いた
途中計算間違いをして何度かやり直したｗ

**ケロイドカルパッチョ** ◆XFDO5cuQ4g · 2022/08/04(木) 12:32:07.050

なるほどな
俺はz^2だしてドモアブル使ってz^100だして
z^100+1/z^100=z^100+(zバー)^100=2Re(z^2)を計算したわ
結局zが1の6乗根で有ることを利用してはいる

**ケロイドカルパッチョ** ◆XFDO5cuQ4g · 2022/08/04(木) 12:32:49.270

間違えた2Re(z^100)だったわ

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2022/08/04(木) 12:35:58.715

やっぱ漸化式でやっちまうわこれは

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2022/08/04(木) 12:40:18.919

解答例

z^2+1/z^2=1
z^4 - z^2 + 1 = 0

x=z^2とおく
x^2 - x + 1 = 0

両辺に(x+1)を掛けると

x^3 + 1 = 0
x^3 = z^6 = -1

z^100 + 1/z^100 においてz^6 = -1と置き換えると

z^96*z^4 + 1/(z^96 * z^4) = (-1)^16 * z^4 + 1/{(-1)^16 * z^4}
=z^4 + 1/z^4

(z^2 + 1/z^2)^2 = z^4 + 1/z^4 +2 = 1^2　だから

z^4 + 1/z^4 = 1 - 2 = -1

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2022/08/04(木) 12:41:11.038

>>14
極形式のほうがわかりやすいかもな