x^5+16x+32を整数係数で因数分解せよ

[0001 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2022/07/17(日) 12:02:03.315 ID:VXKMzHzk0]

自分の頭の遅さが嫌になるなｗ
2次式と3次式に因数分解できる

[0002 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2022/07/17(日) 12:04:28.054 ID:HUxysPE+0]

8x^2

[0003 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2022/07/17(日) 12:11:05.577 ID:UGb/7fwI0]

五条くん……

[0004 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2022/07/17(日) 12:38:28.132 ID:VXKMzHzk0]

x^5+16x+32を整数係数で因数分解せよ

x^5+16x+32=0と置いた場合の解を求める
解の一つをα=a+bi=re^(iθ)とした場合
α^5+16α=-32
α′をαの共役複素数とすれば
α^5 = 16*α′の場合
16(α'+α)=-32
a=-1としたときに常識を満たす

e^(iθ)の共役複素数はe^(-iθ) (=cosθ-isinθ)であるため
e^(i5θ)=e^(i2θ+2π)
3θ=2π
θ=2π/3 (120°)

α=re^i(2π/3)=√((-1)^2+b^2)*(cos(2π/3)+isin(2π/3))=(√(1+b^2))*(1/2+i√3/2)
b=√3となるため
α=√(1+3) * (cos(2π/3)+isin(2π/3))

α^3=8であるため
x^3-8=0の解のひとつになる
x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)

与式はx-2で割り切れないが、x^2+2x+4で割り切れるため

x^5+16x+32 = (x^2+2x+4)(x^3-2x+8)

[0005 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2022/07/17(日) 12:51:02.353 ID:VXKMzHzk0]

ミス修正
x^3-2x+8 → x^3-2x^2+8
転記ミス