【高校数学】x+(1/x)=√2のとき、x^2023+1/(x^2023)の値を求めてください

[0001 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2022/07/03(日) 11:29:18.398 ID:55v3Orl00]

お願いします
宿題じゃありません

[0002 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2022/07/03(日) 11:30:59.732 ID:zE4WpTfN0]

4

[0003 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2022/07/03(日) 11:31:14.979 ID:DCVTGh+c0]

3

[0004 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2022/07/03(日) 11:31:23.540 ID:2VjsItUad]

2

[0005 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2022/07/03(日) 11:31:48.659 ID:GUHdpB0A0]

2023x+2023/1

[0006 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2022/07/03(日) 11:34:24.657 ID:IR4IrTh50]

x^n+1/x^n=a_nとして漸化式で考えるといいよ

[0007 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2022/07/03(日) 11:37:26.202 ID:55v3Orl00]

xの値を求める方法だと
x^2+1=√2x
x^2-√2x+1=0を解の方程式を使って虚数解を求め
更に(x+1/x)^2=2すなわちx^4=-1からxが複素数平面でどういう回り方をするのか調べるのが一番早いか

[0008 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2022/07/03(日) 11:37:57.440 ID:55v3Orl00]

>>6
漸化式もありだね
俺は漸化式で計算してみた

[0009 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2022/07/03(日) 11:39:36.873 ID:rsIxGDbrr]

両辺を２乗してx^○=1という形を作る
あとはx^2023を(x^○)^△･x^◇という形を作って式を簡単にする

[0010 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2022/07/03(日) 11:45:32.505 ID:RdpxYj2y0]

xって
x=√2±√-2 /2で合ってる？？

[0011 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2022/07/03(日) 11:51:32.054 ID:55v3Orl00]

>>10
その式だと正確じゃない
()である部分をくくれば意味としてはあってる

[0012 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2022/07/03(日) 11:51:34.616 ID:rsIxGDbrr]

>>7
さらに2乗すればもっと簡単にできる
2024が8で割りきれることを利用すれば求める式がシンプルになる
ヒントはx^2023=x^(2024-1)=(x^2024)/xを使う

[0013 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2022/07/03(日) 11:54:30.576 ID:55v3Orl00]

>>12
なるほどね
それはいいアイデア

[0014 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2022/07/03(日) 11:55:56.878 ID:RdpxYj2y0]

>>11
x=(√2±√-2 )/2
こうか

てか普通にx求めて代入して解くってパワーいるからダメだな


漸化式って言うのはシンプルになるの？

[0015 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2022/07/03(日) 11:56:08.071 ID:rsIxGDbrr]

この手の問題はいかにx^○=1の式を作るかがキモだから覚えておくといいと思う

[0016 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2022/07/03(日) 12:02:08.223 ID:55v3Orl00]

>>14
漸化式を使う場合、周期が問題になるかな
a_n=x^n+1/(x^n)=(x+1/n)(x^(n-1)+1/(x^(n-1)))+なんとかに変換して
a_n-1とa_n-2の値からa_nを求めるようにして周期が割り出せる
実際にはx^4+1=0 から x^8=1が導かれて、a0からa_7までの8個で1つの周期であることがわかる

[0017 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2022/07/03(日) 12:02:39.095 ID:5vCCsNs/0]

もうさっぱりだわ
みんな凄いなあ

[0018 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2022/07/03(日) 12:06:56.709 ID:RdpxYj2y0]

>>16
理解するまでに時間かかるw
読解してみるわ

[0019 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2022/07/03(日) 12:13:00.144 ID:55v3Orl00]

x^8-1=0は8個の解をもつ
x^8-1=(x^4+1)(x^4-1)=(x^4+1)(x^2+1)(x^2-1)=(x^4+1)(x^2+1)(x+1)(x-1)=0
だから2つの実数解と6個の複素数解をもつ
どの解も8乗すると1になる

[0020 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2022/07/03(日) 12:17:10.404 ID:bzao6Uoy0]

どんだけ難しく考えてるんだよ
これxは複素数になるよ
x^2 + 1 / x^2 = (x + 1 / x)^2 - 2 = 0だから


普通にxについて解けばいいのよ
x = exp(+ i pi /4), exp(- I pi /4)
だから
x^2023 + x^(- 2023) = - sqrt(2)

[0021 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2022/07/03(日) 12:26:47.757 ID:55v3Orl00]

x+1/x=√2　のとき、x^2023+1/(x^2023)の値を求めよ

a_n = x^n + 1/(x^n) = (x+1/x)[x^(n-1)+1/{x^(n-1)}] - [x^(n-2)+1/{x^(n-2)}]
= a_1*a_n-1 - a_n-2

a_0 = x^0 + 1/x^0 = 1 + 1 = 2
a_1 = x^1 + 1/x^1 = √2
a_2 = x^2 + 1/x^2 = √2*√2 - 2 = 0
a_3 = x^3 + 1/x^3 = √2*0 - √2 = -√2
a_4 = x^4 + 1/x^4 = -2
a_5 = -√2
a_6 = 0
a_7 = √2
a_8 = a_0 = 2

2023 = 8*252 + 7
よってx^2023+1/x^2023 = a_2023 = a_7 = √2