数学教えてくれ

[0001 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2022/05/25(水) 17:20:01.453 ID:pWqAEY9Fa]

この問題の(3)なんだけど

https://twitter.com/solove_math/status/1387963380955193346?s=21&t=E6nd4ViAmlxijUfLcZG7cg

2009=7*7*41だから
(x/7^n)^2 + (y/7^n)^2 = 41^n
に変形して、ここから進まん
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

[0002 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2022/05/25(水) 17:46:16.234 ID:ttWOsZsoa]

とりあえずX=x/(7^n),Y=y/(7^n)
としてX^2+Y^2=41^n
を解けばいいんじゃね

とりあえずn=1は(1)で解かれてるし

[0003 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2022/05/25(水) 18:05:34.405 ID:ttWOsZsoa]

41=(4^2+5^2)だから
41^nを展開しても2乗の項でまとめられそう

[0004 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2022/05/25(水) 18:19:14.532 ID:ttWOsZsoa]

n=2
(2)をa=c=5,b=d=4で適用して
41^2=(5^2+4^2)(5^2+4^2)=(5*5-4*4)^2+(5*4+5*4)^2=9^2+40^2

n=3
41^3=(5^2+4^2)(9^2+40^2)
で(2)を適用してX^2+Y^2を得られるな

一般にnにおけるX,YをX_n,Y_nとしたら
41^n=(4^2+5^2)(X_(n-1) ^2 + Y_(n-1) ^2)で(2)を展開して溶けるな