0001以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
2022/03/30(水) 15:37:18.492ID:XwuHYdaox以下の点に注意してください。
(1) x^3 = (z-y)*(z^2+zy+y^2) である。
(2) x、y、zは互いに素であり
x＜y＜zである。
（この命題の証明は、次のようにすればすぐに完了する。
(2)が因数分解できないことを何らかの方法で示す。
1 = (z/x - y/x)* (z^2/y^2 + zy/x^2 + y^2/x^2)となります。
x、y、zは互いに素であるため、最背面項は
1より大きい実数であり、(z/x - y/x) ? 1 であることから、この等式は
が成り立つ
したがって、x,y,zは存在しないことになる。
ここで、x +y ≦ z と仮定する。x^3 + y^3 = z^3 であるから
(x+y)^3 ≦ z^3 = x^3 + y^3 と矛盾する。
x＋y≦zとすると、矛盾が生じるので、x＋y＞z
これが成立するのであれば
AM-GMの不等式より
z/x - y/x + z^2/x^2 + zy/x^2 + y^2/x^2 ? 2
であり、x + y > z
ここで示さなければならないのは、左辺の値
は2に達しない。 式を変形すると、次のようになる。
z-y /x + (z-y)^2/ x^2 + 3yz/x^2, ここで、最初の2つは
1より小さいので、足すと2になる
式全体の調和や均等性という点では
z-y /x <1が示されているので
1 > z^2/x^2 + zy/x^2 + y^2/x^2
を示す必要があります。
AM-GMの不等式より
z/x - y/x + z^2/x^2 + zy/x^2 + y^2/x^2 ? 2
ただし
z/x - y/x + z^2/x^2 + zy/x^2 + y^2/x^2 < 2
したがって、矛盾が生じる。
したがって、このような因数分解は不可能であり、その
題を示す。
