ペアノの公理の後者関数って実質、選択関数なの？？

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2022/03/07(月) 22:47:26.522

後者関数があれば選択関数って要らなくならないだろうかと思ったけど、ペアノの公理では後者関数が存在するって言ってるだけで、どうやって構成するかに触れてないから、その構成のためには選択関数(選択公理)が必要ってことなの？

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2022/03/07(月) 22:48:54.727

なぜそんな奇妙な事考えたのか理解できない

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2022/03/07(月) 22:49:01.235

ここしばらく選択公理から進むことができてない

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2022/03/07(月) 22:53:48.162

後者関数は自然数以外の集合については何も言ってない
試しに実数RのR個の直積の中の元の存在を
後者関数でどうやって言うのか考えてみればよい

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2022/03/07(月) 23:17:50.380

後者関数が存在すると言えるなら、一般にそのような関数の定義が許されているのかと思ってしまった

躓いてるところを直接的に書いた方が早そうだ…

集合X, Y, Zがあり、写像f: X→Yがあるとき、各y∈Yに対する逆像f^-1(y)の濃度がたかだかCard(Z)であるとする
(中略)
仮定により各y∈Yに対するf^-1(y)からZへの単射が存在する
したがって選択公理によって各y∈Yに対して1つずつ単射φ_y: f^-1(y)→Zを定義しておき、写像g: X→Y✕Zを
g(x)=(f(x), φ_f(x)(x))　(x∈X)
で定義すれば、gは単射である

上記で、φ_yの定義に選択公理が必要になる理由が理解できないから教えてほしい

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2022/03/07(月) 23:25:13.688

これ、φ_yは厳密には何なのだろう？
yによって添字付けられた写像の集合？
このyを1つずつ指定するために選択関数が必要だから、選択公理が必要と考えてたけど、もし後者関数のような関数が一般に定義可能だとしたら、わざわざ選択関数が必要になる理由ないんじゃないかと思ったりして混乱してる

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2022/03/07(月) 23:27:40.025

後者関数は定義されるものではなく、その存在を無条件に認めるものだぞ
無定義概念とか言われたりもする

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2022/03/07(月) 23:33:01.282

>>7
とりあえずは後者関数は自然数を定義域として特別に認められているもので、後者関数のような関数を一般に定義可能なんてことはないということだな

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2022/03/07(月) 23:36:57.879

yを選択公理で指定しているのではなく
mapΦ_yを選択公理で指定している
各集合についてそれぞれ要素が取れるからと言って
そのfamilyについて一気に取れる事は一般には保証されないので選択公理を使う