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辺の長さ整数の正多角形で、有理数の対角線の長さを持つものって正六角形だけ？？？
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0001以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 15:37:11.954ID:egBZuFen0
なの？？
0003以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 15:37:46.253ID:egBZuFen0
なんとなくの予想なんだけど
どう思う？？

なんか反例あるんかな
0004以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 15:38:50.956ID:egBZuFen0
>>2
例えばさ、一辺の長さが1の正六角形を考えるじゃん？
そうると、中心を通る対角線の長さが2になって有理数じゃん？
こういうの六角形以外にある？ってことです
0005以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 15:39:56.998ID:egBZuFen0
気になって夜も寝れないわ
0006以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 15:40:42.434ID:Fva3KoWh0
命題：辺の長さと対角線の長さとが有理数比になる正多角形は正六角形のみである

という命題は真か偽か？
0007以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 15:40:47.763ID:9EcOwVA40
一辺の長さが1の正二角形の対角線の長さは1
0008以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 15:41:19.761ID:egBZuFen0
>>6
そうそう
そういう命題ですね
ありがとう
0009以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 15:41:36.563ID:egBZuFen0
>>7
マジレスしたらダメだよね？
0010以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 15:41:44.955ID:Ibzr610k0
カッコつけてんじゃねぇよ(´･ω･`)！！
0011以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 15:41:55.901ID:Ibzr610k0
インテリぶってんじゃねぇ！
0012以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 15:42:02.621ID:Oe4q1ji3d
中心を通らない対角線でもいいの？
0013以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 15:42:15.130ID:egBZuFen0
>>10
つけてないよ！！！

ただ単に気になったんだよ！！
0014以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 15:42:55.617ID:egBZuFen0
>>12
もちろん
どんな対角線でもいいと思う

多分6角形以外は全部無理数なんじゃね？って予想
0015以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 15:43:56.301ID:F3GBxIIma
正12角形は怪しいな
0016以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 15:44:00.032ID:egBZuFen0
>>6
ああでも書き方一応注意で、正六角形でも対角線の長さ無理数のやつはあるので
存在と任意を区別しないとだね
0017以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 15:44:08.425ID:egBZuFen0
>>15
マジ？？
0018以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 15:44:52.729ID:F3GBxIIma
>>17
いや、解いてないけどなんとなく
0019以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 15:45:16.103ID:egBZuFen0
>>18
ちょっと計算してみるわ
0020以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 15:46:37.076ID:4RMPrOfW0
VIP発の未解決問題なんて数学界の恥だから誰か解いてくれ
0021以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 15:46:58.192ID:Fva3KoWh0
>>16
命題：一辺の長さの有理数倍の長さの対角線を持つ正多角形は正六角形のみである

でおｋ？
0022以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 15:47:25.887ID:9EcOwVA40
>>9
計算何もしてないから気になるしマジレス頼む
0023以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 15:48:23.091ID:egBZuFen0
>>21
それでいいと思います！ありがとう！
それか>>6の書き方マネすれば

命題：辺の長さと対角線の長さとが有理数比になりえる正多角形は正六角形のみである

でもいいんじゃないかな？
0024以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 15:49:02.513ID:cMIUGg35d
正十二角形の対角線は無理数

ttp://sintakenoko.la.coocan.jp/Cabri/Cut10.pdf
0025以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 15:49:13.926ID:egBZuFen0
>>22
いやボケじゃなかったんか
正二角形なんて概念は存在しないよ
0026以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 15:49:58.180ID:egBZuFen0
>>24
うおおお！　こんな資料あったんか！
ありがとう！

じゃあこれは残念ながら反例じゃなかったか
0027以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 15:51:03.480ID:a9pNM5Sv0
球面なら正２角形もありえそう
0028以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 15:52:28.883ID:egBZuFen0
>>27
球面だと2点を通る直線が複数出来るから一意に定まらないんじゃないかな
0029以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 15:52:56.935ID:Fva3KoWh0
とりあえずユークリッド平面上での話だよね
0030以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 15:53:41.350ID:egBZuFen0
>>29
そうだね
曲面なら確かに反例はすぐ出来そうだけども
0031以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 16:07:11.011ID:f33NYOjZ0
cosθ°が有理数なのはθが60または90の倍数のときだけらしい
0032以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 16:07:53.519ID:egBZuFen0
>>31
おおありがとう
θが自然数の場合ってことかな？
0033以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 16:08:56.840ID:egBZuFen0
たしかにそれは使えそう

ただ今回は正多角形なので、2π/17
みたいに自然数°じゃ書けないのもあるんよね
0034以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 16:09:46.557ID:f33NYOjZ0
>>33
ほんとだ
それについても調べてみるね
0035以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 16:10:24.853ID:egBZuFen0
>>34
まじありがとう！！！
おれも調べてみます
0036以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 16:13:23.817ID:ZPHExi6O0
一辺の長さが1の正三角形の対角線の長さは1だが？
0037以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 16:14:04.226ID:egBZuFen0
>>36
いや正三角形には対角線存在しないよ
それ多分辺のことだよ
0038以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 16:14:55.688ID:egBZuFen0
>>36
wikipedia: 対角線は、多角形上の異なる2つの頂点同士を結ぶ線分のうち辺を除く線分のことである。

辺を除くって書いてあるよ…
0039以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 16:18:38.464ID:a9pNM5Sv0
一辺の長さが a の正 n 角形の、任意の点から m 番目に近い点までの距離は、
a*sin(mπ/n)/sin(π/n)である。

だそうな
wikpedia正多角形
0040以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 16:19:56.841ID:egBZuFen0
>>39
おおおありがと！！！
これは正多角形の半径を求めた後に、余弦定理みたいなんを使ったんかな？
0041以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 16:21:48.769ID:egBZuFen0
これは強い

ということは
n≠6かつn＞2かつm＜nとして

sin(mπ/n)/sin(π/n)は無理数？

って問題になるんか
0042以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 16:23:42.806ID:a9pNM5Sv0
wikipediaは出典ないから謎だけど似たような式を出してるのがあった
内容は自分にはわからんすまん

https://k-kawanishi.はてなblog.com/entry/2021/04/12/000000
0043以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 16:25:00.340ID:a9pNM5Sv0
はてな→hatena
0044以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 16:25:24.784ID:egBZuFen0
>>42
おおありがと！　ほんとだ
やっぱり余弦定理使ってるね
0045以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 16:35:04.615ID:f33NYOjZ0
これ倍角とか三倍角とかでmが2,3のときとかいけそうだね
0046以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 16:37:11.400ID:f33NYOjZ0
x=π/nとすると、m=2のとき
sin2x/sinx=2sinxcosx/sinx=2cosx
0047以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 16:37:26.320ID:egBZuFen0
>>45
たしかに！
これsinじゃなくてcosならまだマシなのになー
0048以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 16:37:55.106ID:7OvAhPXYa
おまえらムズいことばっかゆあないでくれるか？
0049以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 16:37:58.081ID:egBZuFen0
>>46
おおおなるほど
たしかになんかcosの形で書けそうだね
0050以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 16:38:34.039ID:f33NYOjZ0
同様に、sin3x/sinx=3-4(sinx)^2
0051以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 16:39:20.407ID:egBZuFen0
>>50
もしかしたら
sin(kx)/sin(x)ってsinかcosの多項式で書ける説がある？
0052以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 16:40:06.704ID:f33NYOjZ0
>>50
3-4(sinx)^2=4(cosx)^2-1
0053以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 16:41:24.328ID:f33NYOjZ0
>>51
もしかしたら加法定理と帰納法でいけないかな
0054以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 16:41:31.799ID:egBZuFen0
>>52
なんかパターンありそうだね

ただ怖いのは例えcos(x)が無理数だとしても
cos(x)の多項式は無理数とは限らないってことだね
例えば√2は無理数だけど
(√2)^2は有理数だし
0055以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 16:41:58.374ID:egBZuFen0
>>53
確かに！　帰納法使えそう

ちょっと計算してみる
0056以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 16:42:49.113ID:f33NYOjZ0
ちょっとまて第二種チェビシェフ多項式ってのがこれらしいぞ
0058以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 16:44:46.936ID:egBZuFen0
>>56,57
うおおお！　ありがとう！　どうやって見つけてくるんだｗｗｗ
ということは
sin(kx)/sin(x)はcos(x)の多項式

までは確定か！　ありがとう
これは次に進めるな
0059以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 16:45:28.046ID:egBZuFen0
あとは>>54をどう乗り越えるかかー
0060以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 16:52:16.225ID:f33NYOjZ0
とりあえずcosxは無理数ってのは言えそうなのかな？
0061以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 16:52:46.118ID:f33NYOjZ0
あーいや無理か
0062以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 16:54:15.184ID:FDv9VBear
割りと単純だった
0063以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 16:55:17.592ID:egBZuFen0
>>60
それはなんとかなるかも
ちょっと色々考えてみる
0064以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 16:55:52.886ID:egBZuFen0
>>62
半径は1とは限らないんじゃないかな？
0065以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 16:58:04.311ID:f33NYOjZ0
x=π/nであった
πが180°であることと、>>31を使うと、条件を満たすnは2,3に限られる。
この２つに対角線は存在しないので、nが180の約数であるときcosxは無理数である。

これは言えそうかな？
0066以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 17:01:19.542ID:BBg/FJ2L0
cosθとθが共に有理数になるのがθ=60°の時だけである事を証明すればいいだけだよな
0067以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 17:01:40.301ID:egBZuFen0
>>65
たしかに！
ありがとう！　とりあえずnが180の約数なら確かに大丈夫そう！
0068以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 17:02:44.247ID:egBZuFen0
>>66
いや実はまだギャップがあるよ
>>54の壁がありますね
0069以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 17:03:34.271ID:egBZuFen0
無理数の多項式が無理数とは限らないのでむずかしい…
0070以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 17:07:32.193ID:WvhV8tPa0
大きさ2倍にして 全部の辺を半分に折ったら？
0071以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 17:09:27.025ID:egBZuFen0
>>70
ごめん、どういうことだろ
多角形を折りたたんで考えるってこと？
0072以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 17:10:13.179ID:WvhV8tPa0
>>71
六角形を倍の大きさにして
各辺を折って12角形にしたら？
0073以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 17:11:17.249ID:f33NYOjZ0
超越数の正の整数倍は超越数らしい
超越数ならば無理数であるから
cosxが超越数であると示すことができればいいんだけどね
0074以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 17:11:48.343ID:egBZuFen0
>>72
だとしても
どのみち対角線の長さは無理数になるよ
0075以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 17:12:52.354ID:egBZuFen0
>>73
うーん残念ながら一般にcos(π/n)は超越数じゃなくて代数的数ですね
というのもそれこそn倍角の公式を使えば代数方程式の解になってしまう
0076以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 17:14:16.873ID:f33NYOjZ0
>>75
そうなのかー
あとごめん>>73は整数倍じゃなく整数乗だったわ
0077以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 17:15:31.345ID:CKxQFt+xM
興味本位でスレ開いたが中卒の俺にはお前ら全員天才に見える
呪文かなにかにしか見えん
0078以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 17:16:31.443ID:egBZuFen0
>>76
あああたしかに
でも考察ありがとう！！
なんかうまい方法考えます
0079以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 17:27:58.145ID:f33NYOjZ0
第二種チェビシェフ多項式の漸化式(>>57)使って数学的帰納法で無理数→次も無理数を示せたりしないかな
0080以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 17:29:40.011ID:egBZuFen0
>>79
2x*U_n(x)
ここが一番嫌なポイントですね

無理数×無理数は無理数とは限らないのが厳しい
0081以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 17:36:16.550ID:egBZuFen0
色々調べたら拡大次数って概念使えばいけそうだね
Q(cos(π/n))って体を考えて、その性質を調べれば、

cos(π/n)が最低何次の有理数係数多項式で解けるのかが分かるらしい
0082以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 17:44:40.775ID:cMIUGg35d
今来た。
次の命題を示そうとしているという解釈でok?
命題: n > 6かつ1 < m < nを満たす任意の自然数m, nに対してsin(mπ/n)/sin(π/n)は無理数である。
0083以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 17:46:52.025ID:egBZuFen0
>>82
その通りです
それで今ID:f33NYOjZ0さんコメントによって
チェビシェフ多項式使ってcosの多項式になるところまではいけてます
0084以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 17:48:23.504ID:cMIUGg35d
>>83
了解。
微力だけど考えてみる。
0085以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 17:49:00.429ID:egBZuFen0
>>84
ありがとう！！！！！
0086以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 18:24:35.375ID:cMIUGg35d
役に立ちそうな定理見つけた。

定理1.
整数mと自然数nは互いに素とする。このとき, 次の同値関係が成り立つ。
cos(mπ/n)は有理数。
<=> n = 1, 2, 3

定理2.
整数mと自然数nは互いに素とする。このとき, 次の同値関係が成り立つ。
sin(mπ/n)は有理数。
<=> n = 1, 2, 6
0087以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 18:25:23.015ID:cMIUGg35d
参照↓
ttp://falmath.starfree.jp/blogs/sankakuhiyuurisu.html
0088以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 18:26:28.684ID:egBZuFen0
>>86,87
おおおお！　ありがとう！
これは強い！
とりあえず第一段階はクリアってことかな？
0089以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 18:45:11.134ID:f33NYOjZ0
無理数×無理数が有理数になるパターンって
・互いに√(自然数)であってかけたら平方根が外れるパターン
・一方が他方の逆数であるパターン
以外にある？
0090以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 18:45:43.521ID:f33NYOjZ0
>>89
√(有理数)でいいか
0091以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 18:48:56.934ID:f33NYOjZ0
>>89
ごめん√(2√2)×√(√2)とかもあったわ
0092以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 18:51:12.052ID:egBZuFen0
>>89
例えばeと2/eみたいのがそうですね

π*eが無理数かどうかは未解決問題らしいし
掛け算から無理性を判断するのは色々難しそう
0093以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2022/02/20(日) 19:04:39.898ID:F3GBxIIma
まだ頑張ってるんだ
こんな知性的で生産的なVIP見たことない
0094以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
垢版 |
2022/02/20(日) 19:31:48.938ID:f33NYOjZ0
これ使えたりしない？

https://ja.m.wikipedia.org/wiki/三角関数の公式の一覧#べき乗
0095以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
垢版 |
2022/02/20(日) 19:48:29.002ID:cMIUGg35d
sin(π/n)って
√整数+√整数+√整数+…
の形で書けるかな?
0096以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
垢版 |
2022/02/20(日) 19:48:36.288ID:5KK5hIGo0
>>94
リンクはちゃんと貼ろう
ttps://w.wiki/4rkC
0097以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
垢版 |
2022/02/20(日) 20:08:58.263ID:egBZuFen0
>>94
おおありがとう
とりあえずcos(kx)の和になることは言えるね

でもまたここで問題が発生して
0098以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
垢版 |
2022/02/20(日) 20:09:18.757ID:egBZuFen0
無理数+無理数が無理数とは限らないという
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