りぃまん「ゼータ関数の自明でないゼロ点はその実部がすべて1／2の直線上にあるはずよん」←あのさぁ・・・

[0001 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/02/03(土) 00:05:07.437 ID:D9RuYM61r]

日本語で話せ
何言ってるかとんと見当がつかぬ

[0002 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/02/03(土) 00:05:53.034 ID:lf8Ny+HW0]

かとんと

[0003 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/02/03(土) 00:06:35.008 ID:RVl3rKvp0]

言ってることは簡単じゃん
ゼータ関数が分からんけど

[0004 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/02/03(土) 00:07:33.454 ID:bdSNKwDL0]

りぃまん自身は日本語で話してないから仕方ないね

[0005 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/02/03(土) 00:10:17.675 ID:pzaXAPUu0]

けつ

[0006 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/02/03(土) 00:20:56.884 ID:cYyXIhEj0]

ζ(s) = 1/1^s + 1/2^s + 1/3^s + ...

この関数はs = x + y√-1 (x, y∈R)と書いたとき、x > 1で定義される解析関数になる
が、実はs = 1を除くすべてのs∈C上の函数に拡張できる。しかも、解析性を保ったまま拡張する仕方は一通りしかない
というわけで、ζ(s)をCの解析関数として考える
この時、ζ(s) = 0となるsを考えると、

s = -2, -4, -6, ...

でζ(s) = 0となることがすぐ分かる
Re(s)≧1でζ(s)=0とならないこともすぐ分かる
ζ(s) = 0となるのは

0 < Re(s) < 1

だけ
しかも、Re(s) = 1/2に関して対象に分布していることもわかる
これが、Re(s) = 1/2上にしか無いだろう、とリーマンは言っている

[0007 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/02/03(土) 00:38:09.176 ID:HcOvoyjnr]

>>6
🤯

[0008 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/02/03(土) 00:41:26.525 ID:cYyXIhEj0]

さて、これが成り立つだろうことは容易に予想がつく

1/ζ(s) = μ(1)/1^s + μ(2)/2^s + μ(3)/3^s + ...

ここで、μ(n)はnが相異なる素因数の偶数個の積なら1, 奇数個の積なら-1, 平方因子をもつなら0となる関数だ
たとえば、μ(2) = -1, μ(6) = 1, μ(4) = 0.
これは、オイラー積表示

ζ(s) = Π[p: すべての素数](1 - p^(-s))^(-1)

からすぐわかる

さて、平方因子のないnを無作為にとってきた時、μ(n) = 1となるか-1となるかは確率1/2であろう

S^+_N = #{n: n≦N, μ(n) = 1} = N/2 + r_N
S^-_N#{n: n≦N, μ(n) = -1} = N/2 - r_N

とおくと、二項分布の性質から、

r_N = O(√N)

である。ζ(s) = 0 ⇔ 1/ζ(s) = ±∞ ⇔ S^+とS^-がN→∞で相殺されない ⇔ s≧1/2
ζ(s) = 0となるsは、Re(s) = 1/2に関して対称だったから、ζ(s) = 0 ⇔ s = 1/2

[0009 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2024/02/03(土) 00:43:31.011 ID:HcOvoyjnr]

その、さっきからやたら出る「すぐ分かる」とか「容易に想像つく」やめろ
分かんねーんだよこっちゃ😡