おれが「ジョルダン標準形」の求め方を教科書を見ずに思い出すスレ

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2023/09/09(土) 19:58:27.845

がんばる

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2023/09/09(土) 19:59:48.810

とりあえず、係数は複素数体Cとする
任意の代数的閉体で大丈夫だが、標数が0でない場合は修正が必要かも知れない

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2023/09/09(土) 20:00:16.973

教科書見ろよ

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2023/09/09(土) 20:02:16.482

行列を書くのが無理なので、記号を導入する
n次の単位行列を、I_nと書く

I_1は
1

I_2は
1 0
0 1

I_3は
1 0 0
0 1 0
0 0 1

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2023/09/09(土) 20:03:19.143

そうやって頑張って思い出すってやると変な風に記憶するからやめとけ

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2023/09/09(土) 20:06:05.748

λ∈Cに対して、大きさnのジョルダンブロックとは

J_n(λ) = λI_n + (右上にI_{n-1}、あとぜんぶ0)

J_1(λ)は
λ

J_2(λ)は
λ 1
0 λ

J_3(λ)は
λ 1 0
0 λ 1
0 0 λ

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2023/09/09(土) 20:14:04.784

正方行列A, Bを対角線上に並べた行列をA⊕Bと書く

たとえばJ_2(α)⊕J_1(β)は
α 1 0
0 α 1
0 0 β

これは、部分空間V, Wと、適当な基底をとれば、C^n ～ V⊕Wとなって、A, Bがその基底に関するV, W上の表現行列になっていることから、そう書いてる

記号の準備はこれで足りるはず

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2023/09/09(土) 20:15:14.430

>>5が数学ができないことはわかった

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2023/09/09(土) 20:15:31.537

>>7
α 1 0
0 α 0
0 0 β

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2023/09/09(土) 20:16:32.016

>>8
性格悪いなー
数学やってるやつってこんなのばっかり

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2023/09/09(土) 20:20:38.994

Def:
Aをn次正方行列、λ∈CがAの固有値であるとは、零でないベクトルx∈C^nが存在して

Ax = λx　(☆)

となること
(☆)をみたすxをAの固有値λに対する固有ベクトルという
0は固有ベクトルにふくめない

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2023/09/09(土) 20:21:29.049

>>9
ミスった
サンクス

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2023/09/09(土) 20:24:44.453

そこからやると時間かかりそうだから
適当に固有空間に直和分解すればいいから固有値は1個とするところから始めていいよ

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2023/09/09(土) 20:26:18.453

とりあえず、対角化可能な場合から考えてみる

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2023/09/09(土) 20:42:01.761

Aをn次の正方行列とする
0でないベクトルvに対して、Av = 0となるのは、Aが正則ではないとき
なので、λ∈CがAの固有値となるのは、

det(A - λI_n) = 0

となるとき

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2023/09/09(土) 20:47:50.710

Def
xを未知数として、多項式

φ_A(x) = det(xI_n - A)

をAの固有多項式という

Cは代数的閉体なので、λ_1, ..., λ_kをAの固有値（同じものがあってもいい）として

φ_A(x) = (x - λ_1) ... (x - λ_k)

と分解できる
とくに、φ_A(x)はn次の多項式だから、k = n
よってAの固有値は高々n個しかない