nを正の整数とする。3^n+4^nが5の倍数であるとき、3^n+4^nは5^2の倍数であることを示せ。

[0001 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2023/08/12(土) 21:16:27.976 ID:hmf1yPD30]

3^n+4^nが5^3の倍数であるようなnをすべて求めよ。

[0002 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2023/08/12(土) 21:17:29.111 ID:ljfx39ZJr]

もう分からん

[0003 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2023/08/12(土) 21:17:33.217 ID:K7dVJUIV0]

やだ

[0004 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2023/08/12(土) 21:17:58.255 ID:5eQIC6x10]

NはNだよ

[0005 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2023/08/12(土) 21:18:17.830 ID:XWeIbSjHM]

わかったけど教えてあげない

[0006 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2023/08/12(土) 21:19:08.451 ID:9PHdszGd0]

あーなるほどあれね

[0007 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2023/08/12(土) 21:19:26.713 ID:ljfx39ZJr]

マジで何をいうとるんや？？？ってなる

[0008 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2023/08/12(土) 21:21:41.810 ID:R29jgz2vd]

合同式使うんじゃね

[0009 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします🐙 2023/08/12(土) 21:22:29.810 ID:K463oAIK0]

数学的帰納法

[0010 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2023/08/12(土) 21:23:19.511 ID:y/fg7ycuM]

繰り返しのパターン見つけるんだろ多分

[0011 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2023/08/12(土) 21:23:59.654 ID:ljfx39ZJr]

ちなみにこういうのって大学受験だとどのレベルなん？

[0012 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2023/08/12(土) 21:25:44.573 ID:rs8FwZ8j0]

漢は黙って総当たり
女はヒスって下さい

[0013 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2023/08/12(土) 21:26:49.995 ID:R29jgz2vd]

>>9
多分これだなやっぱ

[0014 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2023/08/12(土) 21:27:27.350 ID:ljfx39ZJr]

>>12
ワロタ

[0015 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2023/08/12(土) 21:27:50.506 ID:zQ/y1kfUd]

つまり25の倍数ってこと？

[0016 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2023/08/12(土) 21:29:31.739 ID:SBXoSoHq0]

マーチとか関関同立レベル

[0017 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2023/08/12(土) 21:30:15.364 ID:ljfx39ZJr]

マジかよこれでかよ
S欄大学の理数系とかどうなるんだよ
ほえぇ

[0018 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2023/08/12(土) 21:31:42.624 ID:rs8FwZ8j0]

スレタイのnは2？

[0019 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2023/08/12(土) 21:34:59.737 ID:I26Icsa60]

mod5で 3+4≡2, 4+1≡0, 2+4≡1, 1+1≡2 のループ
あとは頑張れ

[0020 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2023/08/12(土) 21:36:02.150 ID:ljfx39ZJr]

modてなんや

[0021 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2023/08/12(土) 21:36:46.330 ID:6XOpvbTX0]

与式=p
n=1⇒p=7、n=2⇒p=25、n=3⇒p=91、n=4⇒p=337、で成り立つ
3^(n-4)・3^4+4^(n-4)・4^4
=3^(n-4)・(5・16+1)+4^(n-4)・(5・51+1)
=5(16・3^(n-4)+51・4^(n-4))+3^(n-4)+4^(n-4)
よって数学的帰納法により証明された

[0022 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2023/08/12(土) 21:38:33.725 ID:ljfx39ZJr]

>>21
何言ってるのかワカリマセーン

[0023 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2023/08/12(土) 21:42:14.130 ID:6XOpvbTX0]

>>21
あ、スマン
5の倍数の証明しちゃったよ

[0024 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2023/08/12(土) 21:47:05.772 ID:6XOpvbTX0]

与式=p
n=1⇒p=7、n=2⇒p=25、n=3⇒p=91、n=4⇒p=337、で成り立つ
3^(n-4)・3^4+4^(n-4)・4^4
=3^(n-4)・(25・3+6)+4^(n-4)・(25・10+6)
=25(3・3^(n-4)+10・4^(n-4))+6(3^(n-4)+4^(n-4))
よって数学的帰納法により証明された

[0025 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2023/08/12(土) 21:52:39.401 ID:81ePCG3x0]

n=2 mod 4が必要十分
任意のkに対して
9*81^k+16*256^k
が25の倍数なのを示せばいいが
9*81^k+16*256^k = 9*6^k+16*6^k = 0 mod 25

[0026 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2023/08/12(土) 22:01:01.273 ID:81ePCG3x0]

9*81^k+16*256^k
= 9*(75+6)^k + 16*6^k
= 9*(k*75*6^(k-1)+6^k)+16*6^k
= 25*(27k+6)*6^(k-1)
mod 125

27k+6が5の倍数
⇔k=2 mod 5
⇔n=20m+10