早稲田実業2023年数学の問題で、「(a-b)(a^2 + b^2)=2023を満たす正の整数a,bを求めよ」という出題があったが

[0001 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2023/02/13(月) 08:33:08.589 ID:ywFUBQ+v0]

ただしaとbは連続しない正の整数という条件が付けられた
なぜこのような条件が付けられたかのかは
a^2 + b^2 = 2023
となるa, bが存在しないことがある（a>bでの場合、a-b=1)
中学生レベルでこれを示すのには難易度が高いと判断されたため、この条件を設定したと考えられる

任意の正の整数a, bにおいて

a^2 + b^2 = 2023

を満たすa, bが存在しないことを証明せよ

[0002 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2023/02/13(月) 08:34:34.946 ID:xfKbcf+00]

で？これ何のスレ？

[0003 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2023/02/13(月) 08:36:26.943 ID:ywFUBQ+v0]

高校入試問題だけど高校数学を使うと簡単に証明できる数学問題のすれ

[0004 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2023/02/13(月) 08:39:05.680 ID:b4sWnAE50]

a=31で1985
a=32で2113
だから存在しない

[0005 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2023/02/13(月) 08:43:25.852 ID:oZDI5bRIM]

でも仮に2023が平方数だとするやん？

[0006 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2023/02/13(月) 08:44:45.199 ID:ywFUBQ+v0]

合同式を用いて証明

mod 4（4で割った余り）において

任意の自然数
n≡0（4で割り切れる場合）、
n ≡ ±1(4で割り切れない場合、余り3は3-4=-1としてもOK)

平方数n^2では余りを2乗してもOKであるため
n^2 ≡ 0(4で割り切れる場合)
n^2 ≡ 1(4で割り切れない場合）

よってa^2 + b^2 ≡ 0, 1, 2の値しか取り得ない

一方2023 ≡ 3　であるため、a^2 + b^2 = 2023 となるa, bは存在しない。

[0007 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2023/02/13(月) 08:49:12.491 ID:ywFUBQ+v0]

>>4
bも考えてあげて

>>5
√2023 ≒ 44.98
ちなみに
√2025 = 45

[0008 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2023/02/13(月) 08:52:43.035 ID:65YMNadY0]

俺が昨日解いたやつか

[0009 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2023/02/13(月) 08:54:51.977 ID:ywFUBQ+v0]

>>8
昨日の人か
そう
こういう理由があるから出題から連続する整数を除くという条件がついたというお話

[0010 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2023/02/13(月) 08:55:38.598 ID:uZ76kiOI0]

まずい日本語がわからなくなった

[0011 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2023/02/13(月) 09:14:24.425 ID:pivfLsUBa]

合同式とか捨てて大学に入った

[0012 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2023/02/13(月) 09:14:44.011 ID:pivfLsUBa]

mod知らなくても旧帝大や早慶理工くらいはなんとかなる

[0013 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2023/02/13(月) 09:21:18.262 ID:ywFUBQ+v0]

a^2 + b^2 = 2023
(a - b)^2 = a^ + b^2 -2ab = 1
から求める方法もあるな
暇があったら求めてみて

[0014 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2023/02/13(月) 09:31:06.643 ID:ywFUBQ+v0]

2ab = 2022 だから　ab = 1011 = 3 * 337

337が素数かどうかだが、これはいちいちチェックする必要があるな
337 が素数ならこれは3^2 + 337^2は2023にならないため証明おわり

[0015 以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします 2023/02/13(月) 09:33:33.338 ID:JZB0vYN30]

お前らスゲーな
リアルな感想だが