寝るまで統計学

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2022/03/30(水) 22:59:48.693

使用教科書は基礎統計学Ⅰ「統計学入門」
8章大数の法則と中心極限定理から

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2022/03/30(水) 23:02:46.111

大数の法則
試行回数nが大きくなると、観測された成功率は真の成功率に近づく。
（証明略）

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2022/03/30(水) 23:03:15.711

現代ポートフォリオ理論（平均分散モデル）に詳しい人いますか？

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2022/03/30(水) 23:03:39.667

中心極限定理
標本和の確率分布の形は、nが大きくなると正規分布に近づく。

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2022/03/30(水) 23:04:52.922

中心極限定理の証明は難しすぎる
モーメント母関数の話がまったくついていけない

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2022/03/30(水) 23:08:54.570

ひとまず中心極限定理は元の確率分布がなんであれ適用できるのが強みらしい
よく問題では二項分布が取り上げられるが、別に指数分布でもn→∞なら正規分布に近づく

例題
4万回コインを投げて、19600回以下・もしくは20400回以上表がでる確率を概算せよ

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2022/03/30(水) 23:16:25.854

概算でよければプログラミングで解いてもよさそう
import random
omote = 0
for i in range(40000):
coin = random.randint(0,100)
if coin < 50:
omote+=1
if omote <= 19600 or omote >= 20400:
return True

これを任意の回数(1万回くらい？)実施すればおおよその確率は求まりそう

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2022/03/30(水) 23:17:30.954

改行全部消えたわ
最後にFalseを返す文章を追加し、これらをdef文で関数定義しておけばOKか
else:
return False

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2022/03/30(水) 23:21:35.250

一方で中心極限定理で解く
各試行の期待値と分散は　μ=E(Xi)=1/2, σ^2=(1/2)^2=1/4
二項分布の期待値・分散は　nμ=20000, √n･σ=100
従って、19600≦X≦20400 は±4σ範囲なので、おおよそ0.9999の確率となる。

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2022/03/30(水) 23:28:30.910

正規乱数の発生
一様乱数をn個発生させ、これの期待値と分散を計算する。
n→∞のとき、このn個の総和は中心極限定理から正規分布とみなせることを利用すると、正規乱数を作製できる。

理解が甘いのでここを練習する

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2022/03/30(水) 23:29:44.801

練習
正規分布 N(10,5)に従う乱数をひとつ作製せよ。

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2022/03/30(水) 23:46:10.476

みてる

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2022/03/30(水) 23:55:41.817

0～1の間にある一様乱数をn個作製し、このnが十分大きいとこの総和は正規分布とみなせる特性を利用する。
今回はたとえばn=12として、以下の乱数が生成できたものとする。
0.1 0.1 0.1 0.2 0.2 0.3
0.4 0.5 0.5 0.6 0.8 1.0

平均値は E(Xi)=4.8/12=0.4
分散は V(Xi)≒0.08　標準偏差は Sd≒0.28
一方で、区間(0,1)の一様分布の期待値は μ=1/2、分散は σ^2=1/12 であるから、
Z=(合計値-n/2)/√(n/12)
はnが大きいとき標準正規分布 N(0,1)に近似できる。
今回はn=12だが、これが十分大きいnと扱えるとして中心極限定理を適用する。
予定の正規乱数Xは、Zの逆変換公式である
X=μ+σZ
に代入することで求まる。N(10,5)に注意しつつ上記の値を代入すると
X≒10+√5･(4.8-6)/√(12/12)≒10-2.683≒7.316　･･･答