最近知って衝撃的だった数学の知識

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2022/03/27(日) 21:18:45.456

空写像の定義と、上に非有界な集合Xのべき集合P(X)はXより濃度が大きいのに上に有界

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2022/03/27(日) 21:19:39.382

どゆこと？日本語でよろしく

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2022/03/27(日) 21:23:43.894

あたまが割れる！

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2022/03/27(日) 21:32:37.327

>>2
まず空写像についてWikipediaより
空写像の定義というより空写像の存在と言った方が適切だった

空関数（くうかんすう、英: empty function）、あるいは空写像とは、数学における関数（写像）の一種で、定義域が空集合の関数をいう。任意の集合 A について、A を終域とする空関数

∅ A: ∅ → A

は必ずちょうど1つ存在する。

空関数のグラフ（あるいは空間数そのもの）は、直積集合 ∅×A の部分集合である。∅×Aは空なので、その部分集合も空集合 ∅ である。ここで定義域 ∅ に属する全ての x に対して、(x, y) ∈ ∅ となるような値域 A 内の y が一意に定まるので、空集合∅は空関数のグラフ（あるいは空関数そのもの）である。実際には「定義域にはどんな x も存在しない」ので、これは空虚な真（英語版）の一例である。

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2022/03/27(日) 21:47:38.980

現代数学のほとんどは一階述語論理と集合論(ZFC集合論？)の上で議論できる

学校で習った関数f(x)なんかも、厳密には集合論によって記述される
関数と写像は大体同じなのだけど、定義域と値域ではなく、始域と終域(始集合と終集合)を意識する場合には関数ではなく写像と呼ぶべき

例えば関数f(x)=x+2の定義域を{1,2,3,4,5}とした場合、実際の値域は{3,4,5,6,7}になる
ところが写像では始域を{1,2,3,4,5}にしても、終域を{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}として定義することができる
この場合、値域と終域が一致しないので、終域を意識する場合は関数ではなく写像とした方がよい

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2022/03/27(日) 21:50:08.719

数学基礎論好きそう

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2022/03/27(日) 21:54:51.358

順序？

**以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします** · 2022/03/27(日) 22:00:46.140

話を戻すと、集合論において写像は、始域と終域とグラフの組として定義される

グラフとは順序対の集合であり、定義域の値と値域の値をペアにしたものになる
要は先述のf(x)=x+2の場合、{(1,3),(2,4),(3,5),(4,6),(5,7)}がグラフになる

空集合を始域とする写像が空写像であるが、つまり空集合を始域としても、終域とグラフも適切に定義できると言っている