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この数学の問題の解法があまりにも天才的すぎると話題にｗｗｗｗ

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0001以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 03:18:24.321ID:S6oT0wrZ0
「少なくとも一辺が整数の直方体」達を隙間なく積み上げて直方体を作ったとき、その直方体も、少なくとも一辺が整数であることを示してください
0045以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 03:42:10.629ID:dHqNW78f0
内部に隙間がなく、直方体でない状態を考える。

積み上げる条件から底面を平面であるとし、仮に上面のみが凸な直方体を考える。この状態の最小数の構成は下部の直方体(以下1)と上部の直方体(以下2)の二個によるものである。これを隙間なく埋めることを考える。まず1の高さ以外が整数の時、凸部を埋めるように配置すると当然1と同じ辺が整数となる。それ以外の場合、凸部を埋めるように配置したものから新たに凸部のある長方形ができる。
0047以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 03:42:58.838ID:S6oT0wrZ0
>>42
開直方体からなる集合
0048おじ乳輪様 ◆IQ90.av/.Akz
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2021/12/23(木) 03:43:08.639ID:CSUbGrbH0
なんじゃこりゃ
0049以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 03:43:47.463ID:S6oT0wrZ0
>>43
なぜ「どこかしらで発生」するの？
0050以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 03:44:04.280ID:S6oT0wrZ0
>>45
おー解答ありがとう

じっくり読みます
0051以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 03:44:11.886ID:Mp/qbvXTa
謎πで草
レベル高すぎる
0053以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 03:45:14.762ID:S6oT0wrZ0
>>51
ポイントは
直方体上でe^(2πi(x+y+z))って関数を積分することでした
0054以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 03:46:41.403ID:S6oT0wrZ0
>>45
ごめんなさい
凸な直方体ってどういうことでしょうか

最初から直方体って凸だよね
0056以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 03:48:08.199ID:S6oT0wrZ0
なんかミスってた修正

{R_1, R_2, R_3,....}を条件を満たす直方体の分割とします

R=[a,b]×[c,d]×[e,f]=∪_k [a_k,b_k]×[c_k,d_k]×[e_k,f_k]=∪_k R_k

とします(R_k達の和集合をR)

「∫_α^β e^(2πix)dx = 0 (e^(2πix)のαからβまでの積分)」と、「α-βが整数」が同値になることに注意すれば、

(∫_a^b e^(2πix) dx)* (∫_c^d e^(2πiy) dy)*(∫_e^f e^(2πiz) dz)
=∫_R e^(2πi(x+y+z)) dxdy
=Σ_k ∫_(R_k) e^(2πi(x+y+z)) dxdy
= Σ_k (∫_(a_k)^(b_k) e^(2πix) dx)* (∫_(c_k)^(d_k) e^(2πiy) dy)*(∫_(e_k)^(f_k) e^(2πiz) dz)
=0
より、
∫_a^b e^(2πix) dx = 0
or
∫_c^d e^(2πiy) dy = 0
or
∫_e^f e^(2πiz) dz = 0
となり、a-b or c-d or e-fが整数であることが分かりました
0057以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 03:48:31.716ID:S6oT0wrZ0
>>55
ああ理解しました
組み上げている途中ということか
0058以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 03:49:08.496ID:jWIqPzlGa
つまり、積み上げた直方体の体積を求めようとした場合に一辺が必ず整数である事が導き出されるという事か
0059以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 03:49:29.868ID:3MHLDoVo0
すまん、数式ではなく日本語で説明してくれ
0060以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 03:49:48.481ID:S6oT0wrZ0
>>58
体積というか
なんか複素数e^(2πix)の重みがついた体積ですね
0062以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 03:51:06.509ID:jWIqPzlGa
>>60
ごめん
なんとなくそれっぽいコトを言ってみたかっただけでサッパリだわ
0063以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 03:51:23.864ID:S6oT0wrZ0
>>59
まずRって直方体をR_1,R_2,R_3,....ってバラバラに出来たとします
0064以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 03:53:05.316ID:3MHLDoVo0
>>63
ふむ
0066以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 03:53:13.209ID:jhgx8B8Jd
直方体は1種類？
0067以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 03:53:15.493ID:Mp/qbvXTa
>>61
俺も帰納法でいけると思ったし多分帰納法でいける
やり方は分からん
0068以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 03:53:17.112ID:S6oT0wrZ0
>>59
∫_R e^(2πi(x+y+z)) dxdydz
って量を考えます
(なんか、直方体Rを3次元空間において、(x,y,z)座標にe^(2πi(x+y+z))っていう重みがついた体積と思えばおkです)
0069以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 03:54:01.396ID:S6oT0wrZ0
>>66
大きさはバラバラでおkです
0070以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 03:54:21.486ID:/T97UO7/0
平面の立体拡張版ね
知らんけど
0071以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 03:54:46.922ID:dMPnpuar0
整数条件を複素積分に置き換えるのうま
0072以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 03:54:47.472ID:S6oT0wrZ0
>>59
ここまでなんとなーくおkですか？
厳密な理解はしなくてもいいので
0073以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 03:55:09.339ID:S6oT0wrZ0
>>71
あたおかの解法だよね
0074以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 03:55:47.041ID:TFHKfb/I0
>>68
体積なんて関係あるかよ
嘘つきめ
0075以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 03:56:38.902ID:S6oT0wrZ0
>>74
虚数の重みがついた体積だよ
0076以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 03:56:43.334ID:Q77GhOoW0
[a_k,b_k]×[c_k,d_k]×[e_k,f_k]がk個めの直方体でその差が一つは整数なんだね
微積はわからんかったけれども
0077以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 03:57:12.012ID:S6oT0wrZ0
>>76
そうそうそう
そういうことです
0078以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 03:57:22.690ID:YK0Ek6810
>>20
一辺が整数で他の辺が小数点の直方体を
ランダムに隙間なく積み上げれば
集合体の直方体でも一辺が整数になるってこと？？
0079以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 03:58:26.731ID:S6oT0wrZ0
>>78
そそそ
そういうことです

まあ「少なくとも一辺は」なので
必ずしも「一辺整数、他二辺は整数じゃない」とは限らないけど
0080以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 03:58:29.925ID:dHqNW78f0
続き

1と2の両方が高さ方向が整数の時、埋めたら高さ方向が整数の直方体ができる、それ以外の時はこの直方体を基準にどこかが飛び出た直方体となる。

1は高さ方向、2はそれ以外が整数のとき、2の高さに合わせて埋めることは不可能(一辺が整数の条件)であるため、側面にはみ出ないように組み上げると、組み上げる前のような上面のみはみ出た直方体になる。隙間なく積み上げられるならば、高さ方向は整数になる
0081以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 03:59:48.218ID:Y6wLGgil0
中卒にも理解できるように説明して？
0084以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 04:01:59.901ID:S6oT0wrZ0
>>80
うーん
どんな組み上げ方でもその最小構成が現れるのはなぜでしょうか
0086以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 04:02:45.926ID:S6oT0wrZ0
>>81
まずRって直方体をR_1,R_2,R_3,....ってバラバラに出来たとします

∫_R e^(2πi(x+y+z)) dxdydz
って量を考えます
(なんか、直方体Rを3次元空間において、(x,y,z)座標にe^(2πi(x+y+z))っていう重みがついた体積と思えばおkです)

ここまではおk？
0088以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 04:04:49.833ID:dHqNW78f0
最初の二個は当然として、凹部はそれを埋めたら想定の形状になり、仮に凹部を高さの異なる複数の直方体で埋めたとして仮定の操作で低い方を埋めれば想定の形状と同一となる
0089以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 04:05:27.006ID:S6oT0wrZ0
そうすると、R_1,R_2,...の積み上げがRなので、
∫_R e^(2πi(x+y+z)) dxdydz
= ∫_(R_1) e^(2πi(x+y+z)) dxdydz + ∫_(R_2) e^(2πi(x+y+z)) dxdydz + ∫_(R_3) e^(2πi(x+y+z)) dxdydz +...
という足し算にバラすことができます
0090以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 04:05:47.430ID:YK0Ek6810
>>79
ランダムに色んなサイズの直方体を積み上げた時
結局は凸凹したような積み上げは直方体ではないから、この組み上げ方はダメなんだよね？？
0091以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 04:05:59.185ID:S6oT0wrZ0
>>87
その通りですね

長方形でもn次元直方体でも示せる
0092以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 04:08:17.248ID:S6oT0wrZ0
>>88
その側面からはみ出さないように埋め上げるとかの操作は

「少なくとも一辺が直方体」達で作れるのはどうしてでしょうか
0093以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 04:09:15.315ID:S6oT0wrZ0
>>90
そうだね

こんな感じで最終的には直方体にしないとダメということです
0094以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 04:09:26.298ID:S6oT0wrZ0
図は長方形だけど
0095以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 04:10:32.861ID:S6oT0wrZ0
>>88
あと、もう一つ
「その操作で組み上げれば」少なくとも一辺は整数
ということだよね？

「どんな組み上げ方でも」少なくとも一辺は整数になるのはどうしてでしょうか
0097以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 04:15:25.735ID:S6oT0wrZ0
>>96
どのように埋め上げても本質的に
その埋め上げ方しか無い
ということ？
0098以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 04:15:32.671ID:9F0oVSPs0
大学とか聞いていい?
0099以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 04:15:56.787ID:S6oT0wrZ0
>>98
すまん
0100以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 04:16:28.606ID:YK0Ek6810
２つしか直方体がない場合だと
長さが同じ一辺が向き合う形で組み上げないと
それ以外では凸凹になるわけか
0103以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 04:20:43.880ID:S6oT0wrZ0
>>100
そうだね
確かにそれで二つの場合はおkです
0105以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 04:22:38.354ID:S6oT0wrZ0
>>101
うーん
なぜ「どんな埋め方」でも「そのような埋め方しかない」のかがわからないです
0106以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 04:23:02.278ID:S6oT0wrZ0
>>104
あーごめんよ
>>56で修正しております
0107以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 04:24:38.997ID:S6oT0wrZ0
>>80
ごめん
「上面のみはみ出た直方体になる。隙間なく積み上げられるならば、高さ方向は整数になる」
これはどうしてでしょうか

質問ばっかでごめん
0108以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 04:25:20.922ID:S6oT0wrZ0
はみ出しが非整数はありえない？
0110以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 04:26:41.431ID:Mp/qbvXTa
凄く背理法で解けそうな気がするけど無理なの？
0112以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 04:31:11.141ID:S6oT0wrZ0
>>109
はみ出した構造の中にある最小構成をみつけて、その中の1がってことですか？
0113以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 04:31:39.351ID:S6oT0wrZ0
>>110
うーん確かに背理法でも出来そうだね
0114以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 04:32:00.444ID:S6oT0wrZ0
>>111
これはマジキチ解法だよ
こんなやり方滅多にない
0115以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 04:32:35.702ID:S6oT0wrZ0
ただある意味直方体Rをフーリエ逆変換してると思えるのですんごい高い見方なら自然なのかも...？？
0118以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 04:35:54.847ID:S6oT0wrZ0
うーん
確かになんとなく再帰的解法で出来るのかな
正確な証明は難しそう
0120以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 04:41:05.526ID:S6oT0wrZ0
少しくだけた解法

まずRって直方体をR_1,R_2,R_3,....ってバラバラに出来たとします

∫_R e^(2πi(x+y+z)) dxdydz
って量を考えます
(なんか、直方体Rを3次元空間において、(x,y,z)座標にe^(2πi(x+y+z))っていう重みがついた体積と思えばおkです)

そうすると、R_1,R_2,...の積み上げがRなので、
∫_R e^(2πi(x+y+z)) dxdydz
= ∫_(R_1) e^(2πi(x+y+z)) dxdydz + ∫_(R_2) e^(2πi(x+y+z)) dxdydz + ∫_(R_3) e^(2πi(x+y+z)) dxdydz +...
という足し算にバラすことができます(AとBの体積=Aの体積+Bの体積)...(1)

各∫_(R_k) e^(2πi(x+y+z)) dxdydzに対して、
R_k = [a_k,b_k]× [c_k,d_k]× [e_k,f_k]
としたとき、(縦b_k-a_k, 横d_k-c_k, 奥行きf_k-e_kの直方体) R_kの少なくとも一辺は整数なので、
縦b_k-a_k, 横d_k-c_k, 奥行きf_k-e_kのどれかは必ず整数です...(2)

また、∫_(R_k) e^(2πi(x+y+z)) dxdydz
= (∫_[a_k→b_k] e^(2πix) dx)×(∫_[c_k→d_k] e^(2πiy) dy)×(∫_[e_k→f_k] e^(2πiz) dz)
という掛け算に分けることができて、(直方体の体積=縦×横×奥行き みたいなこと)...(3)

じつは、α-βが整数ならば、
∫_[α→β] e^(2πix) dx
という量は0になります

よって、(1)と(2)と(3)から、
∫_R e^(2πi(x+y+z)) dxdydz
=0+0+0+...=0
になります
R=[a,b]× [c,d]× [e,f]
としたとき、(縦b-a, 横d-c, 奥行きf-eの直方体)
0=∫_R e^(2πi(x+y+z)) dxdydz
=(∫_[a→b] e^(2πix) dx)×(∫_[c→d] e^(2πiy) dy)×(∫_[e→f] e^(2πiz) dz)
と掛け算に分解できるので、
∫_[a→b] e^(2πix) dx
か
∫_[c→d] e^(2πiy) dy
か
∫_[e→f] e^(2πiz) dz
のどれかが0です
よって、縦b-a, 横d-c, 奥行きf-eのどれかが整数になります
0121以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 04:41:16.359ID:S6oT0wrZ0
解法→解説
0123以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 04:44:03.807ID:S6oT0wrZ0
>>65
すまんｗｗ dz消えてたわ
0124以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 04:44:34.980ID:S6oT0wrZ0
>>122
考えてくれてありがとう！
俺も再帰的解法考えてみる
0125以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 04:55:01.599ID:yaBTqE/3M
積分と整数のとこ、e^(2πix)=cos(2πx)+i*sin(2πx)使ってんのかヤヴェな
0126以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 04:56:04.820ID:S6oT0wrZ0
>>125
そそそその通りです

オイラーの公式
e^iπ = -1
は偉大ですね
0127以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 04:58:52.795ID:S6oT0wrZ0
直方体を積み上げるかどうかの話しかしてないのに、なぜか巡り巡ってオイラーの公式が出てくるマジキチ
0128以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 05:01:59.018ID:86zErDFW0
肝は
f(x,y)=0 <=> x-yは整数
となる式f(つまり命題「x-yは整数」の判別式)を思い付くことで

それさえ思い付けば
f(a,b)f(b,c)f(c,d)=0となることは自ずと計算できて証明完了って感じか
0129以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします
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2021/12/23(木) 05:02:54.218ID:S6oT0wrZ0
>>128
そうそうそう
まさにその通りです

あと重要なのは足し算で分解できるところですね
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