この数学の問題の解法があまりにも天才的すぎると話題にwwww
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「少なくとも一辺が整数の直方体」達を隙間なく積み上げて直方体を作ったとき、その直方体も、少なくとも一辺が整数であることを示してください >>16
証明が重要なんですよ
あと多分そうとは限らないよ >>18
縦、横、奥行きのどれか少なくとも一辺は整数のレンガ(大きさはバラバラでおk)達
だけを積み上げて、新しくレンガを作ります
そうしたとき、その新しくできたレンガもまた、
縦、横、奥行きのどれか少なくとも一辺が整数であることを示してください
これならどうでしょうか余計わかりにくい? ああ積み上げて、が縦に積み上げるものだと思ったってことか失礼
バラバラに組み上げておkです >>21
一行とまではいかないけど
すんんごい超越した発想をすればすぐに解けるよ 整数にいくら整数足しても整数にしかならんだろとしか思わんが たとえば積み上げた直方体の一辺が0.5mだとしても単位を変えれば50cmだ >>24
Rが閉直方体であるとは、ある実数a,b,c,d,e,fを用いて
R=[a,b]×[c,d]×[e,f]と書けることである
Rの内点を開直方体と呼ぶ
少なくとも一辺は整数である開直方体達の非交和の閉包が閉直方体となるとき、その閉直方体もまた少なくとも一辺は整数であることを示せ >>26
だってバラバラに組み上げるんだよ?
案外わかんなくない? >>28
そういう問題かー
じゃあちなみに無理数はどう否定されますか? 感覚的にどこか一辺が整数じゃないと隙間ができちゃうのはわかるけど解法ってなるとさっぱりだわ >>37
ああごめん
直方体[a,b]×[c,d]×[e,f]
において、少なくとも一辺の長さが整数とは、
a-b or c-d or e-fが整数
ということです 隙間なく積み上げる場合、整数である辺の繰り返しがどこかしらで発生するため組み上がった直方体の一辺はもとの辺、もしくはその整数倍の辺が現れるから 解説をします
{R_1, R_2, R_3,....}を条件を満たす直方体の分割とします
R=[a,b]×[c,d]×[e,f]=∪_k [a_k,b_k]×[c_k,d_k]×[e_k,f_k]=∪_k R_k
とします(R_k達の和集合をR)
「∫_α^β e^(2πix)dx = 0」と、「α-βが整数」が同値になることに注意すれば、
(∫_a^b e^(2πix) dx)* (∫_c^d e^(2πiy) dy)*(∫_e^f e^(2πiz) dz)
=∫_R e^(2πi(x+y)) dxdy
=Σ_k ∫_(R_k) e^(2πi(x+y)) dxdy
= Σ_k (∫_(a_k)^(b_k) e^(2πix) dx)* (∫_(c_k)^(d_k) e^(2πiy) dy)*(∫_(e_k)^(f_k) e^(2πiz) dz)
=0
より、
∫_a^b e^(2πix) dx = 0
or
∫_c^d e^(2πiy) dy = 0
or
∫_e^f e^(2πiz) dz = 0
となり、a-b or c-d or e-fが整数であることが分かりました 内部に隙間がなく、直方体でない状態を考える。
積み上げる条件から底面を平面であるとし、仮に上面のみが凸な直方体を考える。この状態の最小数の構成は下部の直方体(以下1)と上部の直方体(以下2)の二個によるものである。これを隙間なく埋めることを考える。まず1の高さ以外が整数の時、凸部を埋めるように配置すると当然1と同じ辺が整数となる。それ以外の場合、凸部を埋めるように配置したものから新たに凸部のある長方形ができる。 >>51
ポイントは
直方体上でe^(2πi(x+y+z))って関数を積分することでした >>45
ごめんなさい
凸な直方体ってどういうことでしょうか
最初から直方体って凸だよね 直方体の上に直方体がおかれてるような形、用語に疎くてすまない なんかミスってた修正
{R_1, R_2, R_3,....}を条件を満たす直方体の分割とします
R=[a,b]×[c,d]×[e,f]=∪_k [a_k,b_k]×[c_k,d_k]×[e_k,f_k]=∪_k R_k
とします(R_k達の和集合をR)
「∫_α^β e^(2πix)dx = 0 (e^(2πix)のαからβまでの積分)」と、「α-βが整数」が同値になることに注意すれば、
(∫_a^b e^(2πix) dx)* (∫_c^d e^(2πiy) dy)*(∫_e^f e^(2πiz) dz)
=∫_R e^(2πi(x+y+z)) dxdy
=Σ_k ∫_(R_k) e^(2πi(x+y+z)) dxdy
= Σ_k (∫_(a_k)^(b_k) e^(2πix) dx)* (∫_(c_k)^(d_k) e^(2πiy) dy)*(∫_(e_k)^(f_k) e^(2πiz) dz)
=0
より、
∫_a^b e^(2πix) dx = 0
or
∫_c^d e^(2πiy) dy = 0
or
∫_e^f e^(2πiz) dz = 0
となり、a-b or c-d or e-fが整数であることが分かりました >>55
ああ理解しました
組み上げている途中ということか つまり、積み上げた直方体の体積を求めようとした場合に一辺が必ず整数である事が導き出されるという事か >>58
体積というか
なんか複素数e^(2πix)の重みがついた体積ですね 高さ方向をどうにかできれば帰納法っぽくいけると踏んだんだけども >>60
ごめん
なんとなくそれっぽいコトを言ってみたかっただけでサッパリだわ >>59
まずRって直方体をR_1,R_2,R_3,....ってバラバラに出来たとします >>61
俺も帰納法でいけると思ったし多分帰納法でいける
やり方は分からん >>59
∫_R e^(2πi(x+y+z)) dxdydz
って量を考えます
(なんか、直方体Rを3次元空間において、(x,y,z)座標にe^(2πi(x+y+z))っていう重みがついた体積と思えばおkです) >>59
ここまでなんとなーくおkですか?
厳密な理解はしなくてもいいので [a_k,b_k]×[c_k,d_k]×[e_k,f_k]がk個めの直方体でその差が一つは整数なんだね
微積はわからんかったけれども >>20
一辺が整数で他の辺が小数点の直方体を
ランダムに隙間なく積み上げれば
集合体の直方体でも一辺が整数になるってこと?? >>78
そそそ
そういうことです
まあ「少なくとも一辺は」なので
必ずしも「一辺整数、他二辺は整数じゃない」とは限らないけど 続き
1と2の両方が高さ方向が整数の時、埋めたら高さ方向が整数の直方体ができる、それ以外の時はこの直方体を基準にどこかが飛び出た直方体となる。
1は高さ方向、2はそれ以外が整数のとき、2の高さに合わせて埋めることは不可能(一辺が整数の条件)であるため、側面にはみ出ないように組み上げると、組み上げる前のような上面のみはみ出た直方体になる。隙間なく積み上げられるならば、高さ方向は整数になる 組み上げる途中はどこかがはみ出てるから基準となる直方体を元に各飛び出た部分を消すと上記のように何れか一辺は整数になる >>80
うーん
どんな組み上げ方でもその最小構成が現れるのはなぜでしょうか >>81
まずRって直方体をR_1,R_2,R_3,....ってバラバラに出来たとします
∫_R e^(2πi(x+y+z)) dxdydz
って量を考えます
(なんか、直方体Rを3次元空間において、(x,y,z)座標にe^(2πi(x+y+z))っていう重みがついた体積と思えばおkです)
ここまではおk? 最初の二個は当然として、凹部はそれを埋めたら想定の形状になり、仮に凹部を高さの異なる複数の直方体で埋めたとして仮定の操作で低い方を埋めれば想定の形状と同一となる そうすると、R_1,R_2,...の積み上げがRなので、
∫_R e^(2πi(x+y+z)) dxdydz
= ∫_(R_1) e^(2πi(x+y+z)) dxdydz + ∫_(R_2) e^(2πi(x+y+z)) dxdydz + ∫_(R_3) e^(2πi(x+y+z)) dxdydz +...
という足し算にバラすことができます >>79
ランダムに色んなサイズの直方体を積み上げた時
結局は凸凹したような積み上げは直方体ではないから、この組み上げ方はダメなんだよね?? >>87
その通りですね
長方形でもn次元直方体でも示せる >>88
その側面からはみ出さないように埋め上げるとかの操作は
「少なくとも一辺が直方体」達で作れるのはどうしてでしょうか >>90
そうだね
こんな感じで最終的には直方体にしないとダメということです
>>88
あと、もう一つ
「その操作で組み上げれば」少なくとも一辺は整数
ということだよね?
「どんな組み上げ方でも」少なくとも一辺は整数になるのはどうしてでしょうか 側面からはみ出るように埋めあげれば1の整数部が高さ方向以外の場合に置き換えたものとして考えられるとかはどうだろうか >>96
どのように埋め上げても本質的に
その埋め上げ方しか無い
ということ? 2つしか直方体がない場合だと
長さが同じ一辺が向き合う形で組み上げないと
それ以外では凸凹になるわけか 仮定でははみ出さないとしてるけど、はみ出たとしてもその面について同様に考えればどの組み上げかたも含むと思ったんだけど >>100
そうだね
確かにそれで二つの場合はおkです >>56
ようやく理解できたと、思うんだけど注意すればのあとのとこdxdydzじゃないの? >>101
うーん
なぜ「どんな埋め方」でも「そのような埋め方しかない」のかがわからないです >>104
あーごめんよ
>>56で修正しております >>80
ごめん
「上面のみはみ出た直方体になる。隙間なく積み上げられるならば、高さ方向は整数になる」
これはどうしてでしょうか
質問ばっかでごめん 今さら結構腑に落ちたんだけど、数学系のほうだと整数条件でこの形よく使うの? >>109
はみ出した構造の中にある最小構成をみつけて、その中の1がってことですか? >>111
これはマジキチ解法だよ
こんなやり方滅多にない ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています