解説をします

{R_1, R_2, R_3,....}を条件を満たす直方体の分割とします

R=[a,b]×[c,d]×[e,f]=∪_k [a_k,b_k]×[c_k,d_k]×[e_k,f_k]=∪_k R_k

とします(R_k達の和集合をR)

「∫_α^β e^(2πix)dx = 0」と、「α-βが整数」が同値になることに注意すれば、

(∫_a^b e^(2πix) dx)* (∫_c^d e^(2πiy) dy)*(∫_e^f e^(2πiz) dz)
=∫_R e^(2πi(x+y)) dxdy
=Σ_k ∫_(R_k) e^(2πi(x+y)) dxdy
= Σ_k (∫_(a_k)^(b_k) e^(2πix) dx)* (∫_(c_k)^(d_k) e^(2πiy) dy)*(∫_(e_k)^(f_k) e^(2πiz) dz)
=0
より、
∫_a^b e^(2πix) dx = 0
or
∫_c^d e^(2πiy) dy = 0
or
∫_e^f e^(2πiz) dz = 0
となり、a-b or c-d or e-fが整数であることが分かりました